Кредитна картка нараховує номінальну ставку 21 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 21%m = 4
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 7? Знайдіть залишок боргу B.
P = €200 0005,4% / 12N = 240k = 84
B = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €21 500, €14 500, €20 500, €21 500, €13 500 наприкінці років з 1 по 5. Вартість капіталу — 6 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт A коштує €20 000 і приносить €11 500, €8 000, €4 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €30 000 і приносить €8 500, €12 500, €15 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 8%n = 6
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 6 років і продається за €885. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 6P = €885
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €12 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу 14%, вартість привілейованого капіталу 6%, вартість боргу до оподаткування 6%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,5 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 25%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 52?
μ = 50σ = 5x = 52
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?
n = 8p = 0,7k = 3
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 245,25 і 257,5 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 245,25x2 = 257,5
P =
14.Нормальний розподілСкладна
значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 25% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 96 h, відоме стандартне відхилення 10 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 99 h, відоме стандартне відхилення 12 h. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 35. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 35E = 0,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 80; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 4. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 80,61. Перевірте H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 80σ = 4n = 64x̄ = 80,61H₁: μ > μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 2,5. Насправді середнє дорівнює 101,65. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 100μ = 101,65σ = 2,5n = 25α = 0,01
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 15Σy = 316Σx² = 55Σy² = 20534Σxy = 1019
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 16). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 16)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 22,71 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,21/4 = 0,0525
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0525)4 − 1 = 1,227 − 1 = 22,71%
Відповідь
EAR = 22,71%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 152711 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 240 − 84 = 156
B = 1365·(1 − (1 + 0,0045)−156)/0,0045 = €152 710,89
Відповідь
B = €152 710,89
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,564 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 21 500/1,06 = 20 283,02 → Σ = 20 283,02
рік 2: 14 500/1,124 = 12 904,95 → Σ = 33 187,97
рік 3: 20 500/1,191 = 17 212,20 → Σ = 50 400,16
рік 4: 21 500/1,262 = 17 030,01 → Σ = 67 430,18
Частка останнього року
DPB = 3 + 9 599,84/17 030,01 = 3,564
Відповідь
DPB = 3,564 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,163 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 7,357 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −30 000 − (−20 000) = −10 000
ΔCF1 = 8 500 − 11 500 = −3 000
ΔCF2 = 12 500 − 8 000 = 4 500
ΔCF3 = 15 500 − 4 500 = 11 000
IRR різниці
NPVΔ(7%) = 106,01
NPVΔ(8%) = −187,60
r* = 7,357%
Відповідь
r* = 7,357%
Перевірка: при 7,357% обидві NPV дорівнюють €1 289,90.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 906,1 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,04, N = 12
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,6246)/0,04 = €281,55
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6246 = €624,60
Ціна
P = €906,15
Відповідь
P = €906,15
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 8,528 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€885 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(8%) = €907,54, P(9%) = €865,42
YTM = 8,528%
Відповідь
YTM = 8,528%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,21 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,5/(1 + 0,75·0,4) = 1,154
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,154·(1 + 0,75·1,5) = 2,452
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 2,452·5% = 15,76%
Відповідь
re = 15,76%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 17,44
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Відповідь
P = 0,6554
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 0,6475
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Дисперсія
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Відповідь
Var(X) = 0,6475
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,04668
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95
z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5
Площа між
P = Φ(1,5) − Φ(−0,95) = 0,9332 − 0,1711 = 0,7621
Відповідь
P = 0,7621
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 173,3 cm
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,25
z з таблиці
z ≈ −0,67
Назад до початкових одиниць
x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm
Відповідь
x = 173,3 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −8,702 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 96 − 99 = −3
Стандартна похибка
SE = √(10²/40 + 12²/60) = 2,214
Похибка оцінки
E = 2,576·2,214 = 5,702
Інтервал
−3 ± 5,702 → [−8,702, 2,702]
Відповідь
нижня межа = −8,702 h
Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 18824
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·35/0,5)² = 18824
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 18824
Відповідь
n = 18824
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,1112
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5
z = (80,61 − 80)/0,5 = 1,22
Площа хвоста
Φ(1,22) = 0,8888
1 − Φ(1,22) = 0,1112
p-значення
p = 0,1112
Відповідь
p = 0,1112
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 16,5 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 2,5/√25 = 0,5
x̄c = 100 + 2,326·0,5 = 101,2
z при справжньому середньому
z = (101,2 − 101,65)/0,5 = −0,974
Помилка другого роду
потужність = P(Z > −0,974) = 83,5%
β = 100% − 83,5% = 16,5%
Відповідь
β = 16,5%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9464
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1019 − 15·316/5 = 71
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 20534 − 316²/5 = 562,8
Коефіцієнт кореляції
r = 71/√(10·562,8) = 0,9464
Відповідь
r = 0,9464
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −2,167
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 109/6 = 18,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5
Лінія регресії
b = −36,5/17,5 = −2,086
a = 18,17 − (−2,086)·3,5 = 25,47
ŷ = 25,47 − 2,086·x
Прогнозоване значення
ŷ = 25,47 + (−2,086)·3,5 = 18,17
Залишок
e = 16 − 18,17 = −2,167
Відповідь
e = −2,167
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.