Ви інвестуєте €20 000 під номінальну ставку 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 2 років.
PV = €20 0004,8% / 4n = 2
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €50 000 через 19 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €50 0003,6% / 12N = 228
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €80 000, служить 6 років, а його експлуатація коштує €5 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €80 000M = €5 000n = 6r = 8%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €50 000 і приносить €35 000, €35 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 35 000CF2 = 35 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 5,5%n = 3
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 4%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 7%n = 5YTM = 4%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
У компанії 5 000 000 акцій по €10,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 10%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 27,5.
μ = 50σ = 15x = 27,5
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?
n = 11p = 0,5k = 4
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 171 і 192,35 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 192,35
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 53,5 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 39 h, відоме стандартне відхилення 8 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 30. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?
σ = 30E = 295%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 64 студентів має середній бал 497,3 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 497,3s = 12n = 64
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 127,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 127,4σ = 20n = 4999%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5,5, 65). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(5,5, 65)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 22003 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,08−6)/0,08 = 4,623
Ціна придбання, перерахована на рік
80 000/4,623 = 17 305,23
EAC
EAC = 17 305,23 + 5 000 = €22 305,23
Відповідь
EAC = €22 305,23
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 25,69 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 400,00
NPV(30%) = −2 366,86
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,0275, N = 6
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,8498)/0,0275 = €122,90
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8498 = €849,78
Ціна
P = €972,69
Відповідь
P = €972,69
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 4,429 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 70/1,04 = 67,31, t·PV = 67,31
t = 2: 70/1,082 = 64,72, t·PV = 129,44
t = 3: 70/1,125 = 62,23, t·PV = 186,69
t = 4: 70/1,17 = 59,84, t·PV = 239,35
t = 5: 1070/1,217 = 879,46, t·PV = 4 397,31
Дюрація
P = 1 133,55
D = 5 020,09/1 133,55 = 4,429
Відповідь
D = 4,429 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,665 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091
WACC
WACC = 0,9091·8% + 0,09091·6%·(1 − 0,28) = 7,665%
Відповідь
WACC = 7,665%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,772 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (27,5 − 50)/15 = −1,5
Відповідь
z = −1,5
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 0,6475
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Дисперсія
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Відповідь
Var(X) = 0,6475
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,1611
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05
Площа між
P = Φ(2,05) − Φ(−1) = 0,9798 − 0,1587 = 0,8212
Відповідь
P = 0,8212
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8413
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Імовірність
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 12,32 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 53,5 − 39 = 14,5
Стандартна похибка
SE = √(4²/100 + 8²/40) = 1,327
Похибка оцінки
E = 1,645·1,327 = 2,182
Інтервал
14,5 ± 2,182 → [12,32, 16,68]
Відповідь
нижня межа = 12,32 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 865
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·30/2)² = 864,4
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 865
Відповідь
n = 865
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,8
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Статистика критерію
t = (497,3 − 500)/1,5 = −1,8
Відповідь
t = −1,8
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 134,8
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·20/√49 = 7,36
Межа інтервалу
U = 127,4 + 7,36 = 134,8
Відповідь
U = 134,8
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,7764
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 219/5 = 43,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 56,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 21²/(10·56,8) = 0,7764
Відповідь
r² = 0,7764
Близько 77,64% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −3,9
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 298/5 = 59,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Лінія регресії
b = 62/10 = 6,2
a = 59,6 − 6,2·4 = 34,8
ŷ = 34,8 + 6,2·x
Прогнозоване значення
ŷ = 34,8 + 6,2·5,5 = 68,9
Залишок
e = 65 − 68,9 = −3,9
Відповідь
e = −3,9
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.