Ви інвестуєте €20 000 під 8 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 14 років.
PV = €20 000r = 8%t = 14
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 25 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 8 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 25? Знайдіть FV.
A = €6 000i = 8%n = 25
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €7 000, €8 000, €9 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €7 500, €6 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 6 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 5 років. Її дохідність до погашення змінюється з 7% до 7,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 4%n = 5y1 = 7%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 5 років і продається за €960. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 5P = €960
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €8 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу 9%, вартість привілейованого капіталу 6%, вартість боргу до оподаткування 3%. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC.
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €34,00; балансова вартість її власного капіталу €68 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,20 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €102 000 000 і вартість до оподаткування 6%. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 62.
μ = 70σ = 8x = 62
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.
n = 14k = 4
N =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,3. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 7p = 0,3
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них менша за 69,1 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 69.1 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 5% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2,5. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за 450 спостереженнями?
95%n₁ = 50E₁ = 2,590%n₂ = 450
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 33. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?
σ = 33E = 399%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 студентів має середній бал 198,6 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,6s = 4n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 19. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 21Σy = 256Σx² = 91Σy² = 11044Σxy = 939
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 72?
n = 5ŷ = 72
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 61297 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,08·14 = 1,12
e1,12 = 3,065
Майбутня вартість
FV = 20 000·3,065 = €61 297,08
Відповідь
FV = €61 297,08
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 473726 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,08)25 − 1)/0,08 = 73,11
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 6 000·73,11·1,08 = €473 726,49
Відповідь
FV = €473 726,49
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 1697 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 7 000/1,05 = 6 666,67
CF2/(1 + 0,05)2 = 8 000/1,103 = 7 256,24
CF3/(1 + 0,05)3 = 9 000/1,158 = 7 774,54
Додайте
NPV = €1 697,44
Відповідь
NPV = €1 697,44
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 26,42 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 160,00
NPV(30%) = −384,62
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 25 + 5·160,00/(160,00 − (−384,62)) = 26,47%
точно: NPV(26,42%) = 0 → IRR = 26,42%
Відповідь
IRR = 26,42%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −18,6 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€960 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18
YTM = 9,029%
Відповідь
YTM = 9,029%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,64 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (62 − 70)/8 = −1
Відповідь
z = −1
11.Імовірність
Відповідь: N = 1001
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
Відповідь
N = 1001
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,3294
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,77 = 0,08235
P(X = 1) = 7·0,3·0,76 = 0,2471
Додайте
P = 0,08235 + 0,2471 = 0,3294
Відповідь
P = 0,3294
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,06944
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 72 kg, σT = 0,8·√6 = 1,96 kg
Стандартизуйте
z = (69,1 − 72)/1,96 = −1,48
Імовірність
P = Φ(−1,48) = 0,06944
Відповідь
P = 0,06944
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 189,5 cm
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,95
z з таблиці
z ≈ 1,64
Назад до початкових одиниць
x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm
Відповідь
x = 189,5 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 0,6994
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/450) = 0,2798
Нова похибка
E₂ = 2,5·0,2798 = 0,6994
Відповідь
E₂ = 0,6994
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 803
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·33/3)² = 802,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 803
Відповідь
n = 803
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Статистика критерію
t = (198,6 − 200)/1 = −1,4
Відповідь
t = −1,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 358
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 0,842)·19/2,5)² = 357,3
Округліть угору
n = 358
Відповідь
n = 358
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9332
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 939 − 21·256/6 = 43
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 11044 − 256²/6 = 121,3
Коефіцієнт кореляції
r = 43/√(17,5·121,3) = 0,9332
Відповідь
r = 0,9332
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 7,01
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 334/5 = 66,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206
Лінія регресії
b = 206/40 = 5,15
a = 66,8 − 5,15·6 = 35,9
ŷ = 35,9 + 5,15·x
Розв’яжіть щодо x
x = (72 − 35,9)/5,15 = 7,01
Відповідь
x = 7,01
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.