Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 16 % річних із капіталізацією піврічною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 16%m = 2

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €50 000 через 20 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €50 0004,8% / 12N = 240

A = €

3.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €400 000. Він приносить €36 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €36 000g = 2%r = 12%

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €150 000. Його грошовий потік становить €15 000 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 9. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €15 000g = 3%n = 9r = 10%

NPV = €

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 4%n = 3

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €900 з дохідністю до погашення 6% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 3,8 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 25 базисних пунктів.

P₀ = €900y = 6%D = 3,8Δy = +25 bp

P = €

7.CAPM і WACCСередня

Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €5 000 000, привілейованими акціями вартістю €500 000 і боргом вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу 10%, вартість привілейованого капіталу 7%, вартість боргу до оподаткування 6%. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC.

E = €5 000 000P_s = €500 000D = €3 000 000r_e = 10%r_p = 7%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 500 000 акцій по €58,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.

β = 0,9r_f = 2%r_m = 8%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 44, 58, 48, 25, 16, 58, 51.

n = 7

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 64,8?

μ = 60σ = 12x = 64,8

P =

11.ІмовірністьСередня

У мішечку 5 червоних і 8 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

5 / 8

P =

12.ІмовірністьСкладна

Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?

n = 5p = 0,5k = 4

P =

13.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 200,5 mm. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,5 mm

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 8 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 4,4 і стандартне відхилення 0,8. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 8d̄ = 4,4s_d = 0,899%t(7) = 3,499

верхня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 15 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 1,2 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 14 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 5,629 і 2,5 % — вище від 26,119.

n = 15s = 1,2 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 49 студентів має середній бал 47,6 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,6s = 12n = 49

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 15E = 1,590%

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 27Σy = 402Σx² = 139Σy² = 27460Σxy = 1899

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 17,5.

n = 5x = 17,5

ŷ =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 16,64 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,16/2 = 0,08

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,08)² − 1 = 1,166 − 1 = 16,64%

Відповідь

EAR = 16,64%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 124,5 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·20 = 240

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0,004/(2,607 − 1) = €124,48

Відповідь

A = €124,48

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −40000 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 36 000/(0,12 − 0,02) = 360 000,00

NPV

NPV = 360 000,00 − 400 000 = −€40 000,00

Відповідь

NPV = −€40 000,00

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −54290 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,03)/(1,1))⁹ = 0,5534

PV = 15 000/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,5534) = 95 710,46

NPV

NPV = 95 710,46 − 150 000 = −€54 289,54

Відповідь

NPV = −€54 289,54

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 972 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €15,00, i = 0,02, N = 6

Теперішня вартість купонів

€15,00·(1 − 0,888)/0,02 = €84,02

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,888 = €887,97

Ціна

P = €971,99

Відповідь

P = €971,99

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 891,9 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 3,8/1,06 = 3,585

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −3,585·(0,0025) = −0,8962%

P ≈ 900·(1 − 0,008962) = €891,93

Відповідь

P = €891,93

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,819 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = 5 000 000 + 500 000 + 3 000 000 = €8 500 000

E/V = 0,5882, P_s/V = 0,05882, D/V = 0,3529

WACC

WACC = 0,5882·10% + 0,05882·7% + 0,3529·6%·(1 − 0,28) = 7,819%

Відповідь

WACC = 7,819%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,25 %

Ринкові вартості

E = 2 500 000·€58,00 = €145 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 0,9·6% = 7,4%

Ваги

V = €150 100 000, E/V = 0,966, D/V = 0,03398

WACC

WACC = 0,966·7,4% + 0,03398·4%·(1 − 0,25) = 7,25%

Відповідь

WACC = 7,25%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 16,29

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 300/7 = 42,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 1,143² + 15,14² + 5,143² + (−17,86)² + (−26,86)² + 15,14² + 8,143² = 1593

Стандартне відхилення

s = √(1593/6) = 16,29

Відповідь

s = 16,29

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554

11.Імовірність

Відповідь: P = 0,1282

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Відповідь

P = 0,1282

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,1563

Біноміальна формула

P(X = 4) = 5·0,5⁴·0,5¹ = 5·0,0625·0,5 = 0,1563

Відповідь

P = 0,1563

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1587

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (200,5 − 200)/0,5 = 1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 258,2 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Відповідь

x = 258,22 g

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 5,39 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 7, t = 3,499

Похибка оцінки

E = 3,499·0,8/√8 = 0,9897

Інтервал

4,4 ± 0,9897 → [3,41, 5,39]

Відповідь

верхня межа = 5,39 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 0,8786 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 14·1,2² = 20,16

Межі для σ²

20,16/26,119 = 0,7719

20,16/5,629 = 3,581

Межа для σ

σ = √0,7719 = 0,8786 µm

Відповідь

σ = 0,8786 µm

95 % інтервал для σ: [0,8786, 1,892] µm.

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Статистика критерію

t = (47,6 − 50)/1,714 = −1,4

Відповідь

t = −1,4

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 271

Виразіть n

n = (1,645·15/1,5)² = 270,6

Округліть угору

n = 271

Відповідь

n = 271

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9381

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1899 − 27·402/6 = 90

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 27460 − 402²/6 = 526

Коефіцієнт кореляції

r = 90/√(17,5·526) = 0,9381

Відповідь

r = 0,9381

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 97,5

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 627/5 = 125,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 558

Лінія регресії

b = 558/90 = 6,2

a = 125,4 − 6,2·22 = −11

ŷ = −11 + 6,2·x

Прогноз

ŷ = −11 + 6,2·17,5 = 97,5

Відповідь

ŷ = 97,5

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income