Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 5 років.
PV = €2 0003% / 4n = 5
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €20 000 через 4 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €20 0003% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €5 000, €7 000, €4 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €15 000, €11 500, €10 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 15 000CF2 = 11 500CF3 = 10 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 12 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 4%n = 12
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% двома піврічними платежами й погашається через 9 років. Вона продається за €960. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 2% (2×)n = 9P = €960
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1,2. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Ставка податку 28%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Яка частка P значень більша за 560?
μ = 500σ = 60x = 560
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 6p = 0,5k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0146. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,0146
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 143,5 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 150 h, відоме стандартне відхилення 20 h. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 8. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 8E = 0,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 64 студентів має середній бал 501,8 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,8s = 5n = 64
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 20. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 20E = 2,595%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 23?
n = 5ŷ = 23
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 2322 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 5 000/1,06 = 4 716,98
CF2/(1 + 0,06)2 = 7 000/1,124 = 6 229,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 4 000/1,191 = 3 358,48
Додайте
NPV = €−5 694,57
Відповідь
NPV = €−5 694,57
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 40,96 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(40%) = 225,95
NPV(45%) = −905,33
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 40 + 5·225,95/(225,95 − (−905,33)) = 41%
точно: NPV(40,96%) = 0 → IRR = 40,96%
Відповідь
IRR = 40,96%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1378 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, i = 0,02, N = 24
Теперішня вартість купонів
€40,00·(1 − 0,6217)/0,02 = €756,56
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6217 = €621,72
Ціна
P = €1 378,28
Відповідь
P = €1 378,28
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 2,499 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, N = 18
Чисельний розв’язок
i = 1,25% за півроку
YTM
YTM = 2·1,25% = 2,499%
Відповідь
YTM = 2,499%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,67 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·12% + 0,1667·5%·(1 − 0,2) = 10,67%
Відповідь
WACC = 10,67%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 8,028 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1,2·(1 + 0,72·0,5) = 1,632
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 1,632·4% = 8,028%
Відповідь
re = 8,028%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 15,46
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,114
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,2 = 1,4
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,2 = 3,2
Дисперсія
Var(X) = 3,2 − 1,4² = 1,24
σ = √1,24 = 1,114
Відповідь
σ = 1,114
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,2344
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 2) = 15·0,52·0,54 = 15·0,25·0,0625 = 0,2344
Відповідь
P = 0,2344
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 2,18
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,0146 = 0,9854
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9854 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 2,18
Відповідь
z = 2,18
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 551,3 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Назад до x
x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h
Відповідь
x = 551,26 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 4,452 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 143,5 − 150 = −6,5
Стандартна похибка
SE = √(4²/100 + 20²/80) = 2,272
Похибка оцінки
E = 1,96·2,272 = 4,452
Відповідь
E = 4,452 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 984
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·8/0,5)² = 983,4
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 984
Відповідь
n = 984
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,88
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Статистика критерію
t = (501,8 − 500)/0,625 = 2,88
Відповідь
t = 2,88
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 246
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,96·20/2,5)² = 245,9
Округліть угору
n = 246
Відповідь
n = 246
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9833
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1782 − 25·318/5 = 192
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 21178 − 318²/5 = 953,2
Коефіцієнт кореляції
r = 192/√(40·953,2) = 0,9833
Відповідь
r = 0,9833
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 1,545
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Лінія регресії
b = −22/10 = −2,2
a = 19,8 − (−2,2)·3 = 26,4
ŷ = 26,4 − 2,2·x
Розв’яжіть щодо x
x = (23 − 26,4)/(−2,2) = 1,545
Відповідь
x = 1,545
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.