Ви інвестуєте €5 000 під 4 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 12 років.
PV = €5 000r = 4%t = 12
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €200 наприкінці кожного місяця протягом 6 років. Рахунок дає 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €2004,2% / 12N = 72
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €5 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 4 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF1 = €5 000g = 4%r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €80 000 приносить €12 000 наприкінці кожного року протягом 9 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €80 000CF = €12 000n = 9
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 13 років і виплачує річні купони. Вона продається за €925, коли дохідність до погашення становить 9%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 13P = €925YTM = 9%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 20 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%) продається за €1 390. Емітент може достроково викупити її через 4 років за ціною викупу €1 050. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 5%P = €1 390ціна викупу = €1 050дострокове погашення через 4 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 1 000 000 акцій по €33,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень більша за 550?
μ = 500σ = 50x = 550
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €2 з імовірністю 0,15 і €50 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€2: p = 0,15€50: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 250 і 257,5 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 257,5
P =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 85% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 21 елементів має середнє 24,5 і стандартне відхилення s = 19,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 21x̄ = 24,5s = 19,590%t(20) = 1,725
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 10 ділянок, середній урожай 97,5 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 98,5 kg, стандартне відхилення 10 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 7,5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 98,56. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ ≠ 100. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 100σ = 7,5n = 25x̄ = 98,56H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 20. Насправді середнє дорівнює 72.2. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 80μ = 72,2σ = 20n = 100α = 0,01
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 20Σy = 339Σx² = 90Σy² = 23683Σxy = 1439
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (23, 79). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(23, 79)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 8080 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,04·12 = 0,48
e0,48 = 1,616
Майбутня вартість
FV = 5 000·1,616 = €8 080,37
Відповідь
FV = €8 080,37
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 16345 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 5 000/(0,08 − 0,04) = 125 000,00
NPV
NPV = 125 000,00 − 100 000 = €25 000,00
Відповідь
NPV = €25 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 6,463 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−9)/i = 80 000/12 000 = 6,667
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 6%: 6,802
i = 7%: 6,515
IRR = 6,463%
Відповідь
IRR = 6,463%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 7,998 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,09)−13 = €326,18
Купон
C = (925 − 326,18)/7,487 = €79,98
Купонна ставка
c = 79,98/1000 = 7,998%
Відповідь
c = 7,998%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 50 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1390 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Чисельний розв’язок
y = 50%: €287,65
y = 50%: €287,65
YTC = 50%
Відповідь
YTC = 50%
Дохідність до погашення 2,499%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,673 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·8% + 0,2308·3%·(1 − 0,25) = 6,673%
Відповідь
WACC = 6,673%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,356 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,188
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,15 + 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,35 = 1,75
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,35 = 4,25
Дисперсія
Var(X) = 4,25 − 1,75² = 1,188
Відповідь
Var(X) = 1,188
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 0,3 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 1 (p = 0,15), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)
Математичне сподівання
E(G) = 1·0,15 + 49·0,02 − 1·0,83 = 0,3 €
Відповідь
E(G) = 0,3 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,4332
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5
Площа між
P = Φ(1,5) − Φ(0) = 0,9332 − 0,5 = 0,4332
Відповідь
P = 0,4332
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 244,8 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,15
z з таблиці
z ≈ −1,04
Назад до початкових одиниць
x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g
Відповідь
x = 244,8 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 31,84
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Похибка оцінки
E = 1,725·19,5/√21 = 7,34
Інтервал
24,5 ± 7,34 → [17,16, 31,84]
Відповідь
верхня межа = 31,84
16.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 9,993 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (9·3,5² + 6·10²)/15 = 47,35
sp = 6,881
Похибка оцінки
E = 2,947·6,881·√(1/10 + 1/7) = 9,993
Відповідь
E = 9,993 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,3371
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5
z = (98,56 − 100)/1,5 = −0,96
Площа хвоста
Φ(0,96) = 0,8315
1 − Φ(0,96) = 0,1685
p-значення
p = 2·0,1685 = 0,3371
Відповідь
p = 0,3371
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 5,774 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 20/√100 = 2
x̄c = 80 − 2,326·2 = 75,35
z при справжньому середньому
z = (75,35 − 72,2)/2 = 1,574
Помилка другого роду
потужність = P(Z < 1.574) = 94.23%
β = 100% − 94,23% = 5,774%
Відповідь
β = 5,774%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9929
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1439 − 20·339/5 = 83
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 23683 − 339²/5 = 698,8
Коефіцієнт кореляції
r = 83/√(10·698,8) = 0,9929
Відповідь
r = 0,9929
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −3,55
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 361/5 = 72,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138
Лінія регресії
b = 138/40 = 3,45
a = 72,2 − 3,45·20 = 3,2
ŷ = 3,2 + 3,45·x
Прогнозоване значення
ŷ = 3,2 + 3,45·23 = 82,55
Залишок
e = 79 − 82,55 = −3,55
Відповідь
e = −3,55
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.