Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 20 років. Процентна ставка 8 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €8 000i = 8%n = 20

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €250 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 30 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €250 0005,4% / 12N = 360

A = €

3.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000. Він приносить €13 500 наприкінці кожного року протягом 3 років, а потім його можна продати за €8 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €40 000CF = €13 500S = €8 000n = 3r = 12%

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €16 500, €15 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 15 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 9 років. Її дохідність до погашення змінюється з 5% до 6,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 7%n = 9y₁ = 5%y₂ = 6,5%

ΔP = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% двома піврічними платежами й погашається через 6 років. Вона продається за €1 027. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.

F = €1 000купон = 4% (2×)n = 6P = €1 027

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 10,19%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 10,19%r_d = 4%T = 25,8%

r_e = %

8.CAPM і WACCСкладна

Акції компанії мають бету 0,9 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 28%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 6,5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e після зміни.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1,5T = 28%r_f = 3,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 20, 42, 49, 15, 50.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 58.

μ = 70σ = 8x = 58

z =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,05, 0,1, 0,2, 0,35

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €6 з імовірністю 0,25 і €40 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€6: p = 0,25€40: p = 0,02

E(G) = €

13.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,3255. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,3255

z =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

15.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 82,5 h, відоме стандартне відхилення 12 h. Модель 2: 100 телефонів, середнє 71 h, відоме стандартне відхилення 20 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 82,5 hσ₁ = 12 hn₂ = 100x̄₂ = 71 hσ₂ = 20 h99%

E = h

16.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,02?

p = 0,5E = 0,0295%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 196,9 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,9s = 5n = 25

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 504,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 504,4σ = 15n = 10090%

L =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 78545 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2145)/0,08 = 9,818

Теперішня вартість

PV = 8 000·9,818 = €78 545,18

Відповідь

PV = €78 545,18

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 1404 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·30 = 360

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,1986

A = 250 000·0,0045/(1 − 0,1986) = €1 403,83

Відповідь

A = €1 403,83

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −1881 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

13 500·2,402 = 32 424,72

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

8 000/1,405 = 5 694,24

NPV

NPV = −40 000 + 32 424,72 + 5 694,24 = −€1 881,04

Відповідь

NPV = −€1 881,04

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 18,38 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 1 068,05

NPV(20%) = −486,11

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·1 068,05/(1 068,05 − (−486,11)) = 18,44%

точно: NPV(18,38%) = 0 → IRR = 18,38%

Відповідь

IRR = 18,38%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = −108,9 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €70,00, i = 0,05, N = 9

€70,00·(1 − 0,6446)/0,05 + €1 000·0,6446 = €497,55 + €644,61 = €1 142,16

Ціна за нової дохідності

C = €70,00, i = 0,065, N = 9

€70,00·(1 − 0,5674)/0,065 + €1 000·0,5674 = €465,93 + €567,35 = €1 033,28

Зміна

ΔP = 1 033,28 − 1 142,16 = −€108,88

Відповідь

ΔP = −€108,88

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 3,497 %

За період

C = €20,00, N = 12

Чисельний розв’язок

i = 1,749% за півроку

YTM

YTM = 2·1,749% = 3,497%

Відповідь

YTM = 3,497%

7.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 12 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

Частка боргу у WACC

0,2·4%·(1 − 0,258) = 0,5936%

Вартість власного капіталу

r_e = (10,19% − 0,5936%)/0,8 = 12%

Відповідь

r_e = 12%

8.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 13,81 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

β_U = 0,9/(1 + 0,72·0,25) = 0,7627

Перерахуйте за новим D/E

β_L = 0,7627·(1 + 0,72·1,5) = 1,586

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,586·6,5% = 13,81%

Відповідь

r_e = 13,81%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 16,54

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 176/5 = 35,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−15,2)² + 6,8² + 13,8² + (−20,2)² + 14,8² = 1095

Стандартне відхилення

s = √(1095/4) = 16,54

Відповідь

s = 16,54

10.Описова статистика

Відповідь: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (58 − 70)/8 = −1,5

Відповідь

z = −1,5

11.Імовірність

Відповідь: σ = 1,67

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,3 + 2·0,05 + 3·0,1 + 4·0,2 + 5·0,35 = 3,25

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,05 + 9·0,1 + 16·0,2 + 25·0,35 = 13,35

Дисперсія

Var(X) = 13,35 − 3,25² = 2,787

σ = √2,787 = 1,67

Відповідь

σ = 1,67

12.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,3 €

Чисті результати

G: 4 (p = 0,25), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,73)

Математичне сподівання

E(G) = 4·0,25 + 38·0,02 − 2·0,73 = 0,3 €

Відповідь

E(G) = 0,3 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,42

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,3255)/2 = 0,6628

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,6628 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,42

Відповідь

z = 0,42

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 533,7 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Відповідь

x = 533,66 h

15.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 7,102 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 82,5 − 71 = 11,5

Стандартна похибка

SE = √(12²/40 + 20²/100) = 2,757

Похибка оцінки

E = 2,576·2,757 = 7,102

Відповідь

E = 7,102 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2401

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,02² = 2401

Округліть угору

n = 2401

Відповідь

n = 2401

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Статистика критерію

t = (196,9 − 200)/1 = −3,1

Відповідь

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 501,9

Похибка оцінки

E = 1,645·15/√100 = 2,468

Межа інтервалу

L = 504,4 − 2,468 = 501,9

Відповідь

L = 501,9

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,7318

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 243/5 = 48,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 191,2

Коефіцієнт кореляції

r = 64/√(40·191,2) = 0,7318

Відповідь

r = 0,7318

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 54,2

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 313/5 = 62,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

Лінія регресії

b = 56/10 = 5,6

a = 62,6 − 5,6·3 = 45,8

ŷ = 45,8 + 5,6·x

Прогноз

ŷ = 45,8 + 5,6·1,5 = 54,2

Відповідь

ŷ = 54,2

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income