Через 2 років вам потрібно €5 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €5 0006% / 4n = 2
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €10 000 через 16 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €10 0004,8% / 12N = 192
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €9 000, €10 000, €9 000, €11 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €30 000 і приносить €17 000, €12 000, €6 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €35 000 і приносить €10 000, €14 000, €18 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 7% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4%YTM = 7%n = 10
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €910 з дохідністю до погашення 5% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 7,2 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 25 базисних пунктів.
P0 = €910y = 5%D = 7,2Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €4 000 000, привілейованими акціями вартістю €2 000 000 і боргом вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу 12%, вартість привілейованого капіталу 8%, вартість боргу до оподаткування 5%. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €21,00 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 118?
μ = 100σ = 12x = 118
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 7 осіб? Порядок не має значення.
n = 7k = 4
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,25 і €250 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€20: p = 0,25€250: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 35,8 min. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 35,8 min
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 97,5%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 10,5. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 576 спостережень?
95%n₁ = 64E₁ = 10,5n₂ = 576
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 6. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 6E = 1,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 14 студентів, середній бал 93,5, стандартне відхилення 8. Група 2: 12 студентів, середній бал 84,6, стандартне відхилення 4,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 14x̄₁ = 93,5s₁ = 8n₂ = 12x̄₂ = 84,6s₂ = 4,5
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12. Насправді середнє дорівнює 44.4. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 50μ = 44,4σ = 12n = 36α = 0,01
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 97). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(9, 97)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 4439 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·2 = 8
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,126 = €4 438,56
Відповідь
PV = €4 438,56
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 34,72 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 9 000/1,12 = 8 035,71
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 9 000/1,405 = 6 406,02
CF4/(1 + 0,12)4 = 11 000/1,574 = 6 990,70
Додайте
NPV = €−595,63
Відповідь
NPV = €−595,63
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 5,322 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 10 000 − 17 000 = −7 000
ΔCF2 = 14 000 − 12 000 = 2 000
ΔCF3 = 18 000 − 6 500 = 11 500
IRR різниці
NPVΔ(5%) = 81,52
NPVΔ(6%) = −168,16
r* = 5,322%
Відповідь
r* = 5,322%
Перевірка: при 5,322% обидві NPV дорівнюють €2 522,49.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 786,8 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, i = 0,035, N = 20
Теперішня вартість купонів
€20,00·(1 − 0,5026)/0,035 = €284,25
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5026 = €502,57
Ціна
P = €786,81
Відповідь
P = €786,81
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 925,6 €
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 7,2/1,05 = 6,857
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −6,857·(−0,0025) = 1,714%
P ≈ 910·(1 + 0,01714) = €925,60
Відповідь
P = €925,60
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,884 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Відповідь
P = 0,06681
11.Імовірність
Відповідь: N = 35
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35
Відповідь
N = 35
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 5 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 15 (p = 0,25), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)
Математичне сподівання
E(G) = 15·0,25 + 245·0,02 − 5·0,73 = 5 €
Відповідь
E(G) = 5 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,06426
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426
Відповідь
P = 0,06426
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 259,8 g
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Назад до x
x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g
Відповідь
x = 259,8 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 3,5
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(64/576) = 0,3333
Нова похибка
E₂ = 10,5·0,3333 = 3,5
Відповідь
E₂ = 3,5
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 62
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·6/1,5)² = 61,47
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 62
Відповідь
n = 62
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 3,413
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (13·8² + 11·4,5²)/24 = 43,95
sp = 6,629
Стандартна похибка
SE = 6,629·√(1/14 + 1/12) = 2,608
Статистика критерію
t = (93,5 − 84,6)/2,608 = 3,413
Відповідь
t = 3,413
При df = 24 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,064; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 31,77 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 50 − 2,326·2 = 45,35
z при справжньому середньому
z = (45,35 − 44,4)/2 = 0,474
Помилка другого роду
потужність = P(Z < 0.474) = 68.23%
β = 100% − 68,23% = 31,77%
Відповідь
β = 31,77%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,8315
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 40
Коефіцієнт кореляції
r = −22/√(17,5·40) = −0,8315
Відповідь
r = −0,8315
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,705
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 478/6 = 79,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 442
Лінія регресії
b = 442/70 = 6,314
a = 79,67 − 6,314·7 = 35,47
ŷ = 35,47 + 6,314·x
Прогнозоване значення
ŷ = 35,47 + 6,314·9 = 92,3
Залишок
e = 97 − 92,3 = 4,705
Відповідь
e = 4,705
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.