Ви інвестуєте €5 000 під 5 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 11 років.
PV = €5 000r = 5%t = 11
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €100 наприкінці кожного місяця протягом 29 років. Рахунок дає 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1004,2% / 12N = 348
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €25 000, €15 000, €19 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €23 500, €30 000, €16 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 23 500CF2 = 30 000CF3 = 16 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 11 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 4,5%), коли її дохідність до погашення становить 3%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 3,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 4,5%n = 11y0 = 3%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% двома піврічними платежами й погашається через 7 років. Вона продається за €1 056. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 7% (2×)n = 7P = €1 056
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,75. Вартість власного капіталу 11%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,75re = 11%rd = 5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 000 000 акцій по €36,00 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25%. Бета акції — 1,5, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Яка частка P значень більша за 487,5?
μ = 500σ = 25x = 487,5
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.
n = 14k = 2
N =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 9p = 0,5
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 60 і 80,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 80,5
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 елементів має середнє 112,5 і стандартне відхилення s = 10. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 16x̄ = 112,5s = 1095%t(15) = 2,131
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 5. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 5E = 0,599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
13 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 3,72, стандартне відхилення різниць 6,7. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 13d̄ = 3,72sd = 6,7
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 15. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3, 46). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(3, 46)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 8666 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,05·11 = 0,55
e0,55 = 1,733
Майбутня вартість
FV = 5 000·1,733 = €8 666,27
Відповідь
FV = €8 666,27
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 67807 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 25 000/1,12 = 22 321,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 15 000/1,254 = 11 957,91
CF3/(1 + 0,12)3 = 19 000/1,405 = 13 523,82
Додайте
NPV = €−27 196,84
Відповідь
NPV = €−27 196,84
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 36,11 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(35%) = 574,61
NPV(40%) = −1 895,04
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €35,00, N = 14
Чисельний розв’язок
i = 3,004% за півроку
YTM
YTM = 2·3,004% = 6,008%
Відповідь
YTM = 6,008%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,979 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·5%·(1 − 0,21) = 7,979%
Відповідь
WACC = 7,979%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,055 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 000 000·€36,00 = €72 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 1,5·5% = 10%
Ваги
V = €82 000 000, E/V = 0,878, D/V = 0,122
WACC
WACC = 0,878·10% + 0,122·3%·(1 − 0,25) = 9,055%
Відповідь
WACC = 9,055%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 7,335
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Відповідь
P = 0,6915
11.Імовірність
Відповідь: N = 91
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91
Відповідь
N = 91
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,01953
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,59 = 0,001953
P(X = 1) = 9·0,5·0,58 = 0,01758
Додайте
P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953
Відповідь
P = 0,01953
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,6309
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5
z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55
Площа між
P = Φ(1,55) − Φ(−0,5) = 0,9394 − 0,3085 = 0,6309
Відповідь
P = 0,6309
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 56,58 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Назад до x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 балів
Відповідь
x = 56,58 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 5,327
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Похибка оцінки
E = 2,131·10/√16 = 5,327
Відповідь
E = 5,327
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 664
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·5/0,5)² = 663,6
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 664
Відповідь
n = 664
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,002
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 6,7/√13 = 1,858
Статистика критерію
t = 3,72/1,858 = 2,002
Відповідь
t = 2,002
При df = 12 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,179; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 309
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 1,282)·15/2,5)² = 308,4
Округліть угору
n = 309
Відповідь
n = 309
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9654
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 580/6 = 96,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 414
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2627
Коефіцієнт кореляції
r = 414/√(70·2627) = 0,9654
Відповідь
r = 0,9654
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 3,029
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 384/6 = 64
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 368
Лінія регресії
b = 368/70 = 5,257
a = 64 − 5,257·7 = 27,2
ŷ = 27,2 + 5,257·x
Прогнозоване значення
ŷ = 27,2 + 5,257·3 = 42,97
Залишок
e = 46 − 42,97 = 3,029
Відповідь
e = 3,029
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.