Через 4 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 3 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €20 0003% / 4n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €3 000 на початку кожного року протягом 5 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 8 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 5? Знайдіть FV.
A = €3 000i = 8%n = 5
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €13 000, €9 000, €11 000, €14 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Інвестиція €20 000 приносить €3 500 наприкінці кожного року протягом 9 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €20 000CF = €3 500n = 9
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 6%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 12 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%) продається за €1 215. Емітент може достроково викупити її через 6 років за ціною викупу €1 080. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 8%P = €1 215ціна викупу = €1 080дострокове погашення через 6 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €34,00; балансова вартість її власного капіталу €51 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,90 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €102 000 000 і вартість до оподаткування 3%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень більша за 380?
μ = 500σ = 100x = 380
P =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 6 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
6 / 3
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?
n = 8p = 0,25k = 4
P =
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 33,3 min. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 33,3 min
P =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 95% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів95%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 117 h, відоме стандартне відхилення 17 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 111 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 7,8 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.
n = 21s = 7,8 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 80; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 32. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 72,96. Перевірте H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 80σ = 32n = 64x̄ = 72,96H₁: μ < μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 1,5 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 5. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 15?
n = 5ŷ = 15
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 17746 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·4 = 16
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,127 = €17 746,35
Відповідь
PV = €17 746,35
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 19008 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,08)5 − 1)/0,08 = 5,867
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 3 000·5,867·1,08 = €19 007,79
Відповідь
FV = €19 007,79
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 8776 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 13 000/1,08 = 12 037,04
CF2/(1 + 0,08)2 = 9 000/1,166 = 7 716,05
CF3/(1 + 0,08)3 = 11 000/1,26 = 8 732,15
CF4/(1 + 0,08)4 = 14 000/1,36 = 10 290,42
Додайте
NPV = €8 775,66
Відповідь
NPV = €8 775,66
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 10,2 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−9)/i = 20 000/3 500 = 5,714
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 10%: 5,759
i = 11%: 5,537
IRR = 10,2%
Відповідь
IRR = 10,2%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 936 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,03, N = 10
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,7441)/0,03 = €191,93
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7441 = €744,09
Ціна
P = €936,02
Відповідь
P = €936,02
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 4,949 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1215 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
Чисельний розв’язок
y = 4%: €1 272,91
y = 5%: €1 211,97
YTC = 4,949%
Відповідь
YTC = 4,949%
Дохідність до погашення 5,505%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,16 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·14% + 0,375·5%·(1 − 0,25) = 10,16%
Відповідь
WACC = 10,16%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,021 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Відповідь
P = 0,8849
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,4167
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167
Відповідь
P = 0,4167
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,08652
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015
Відповідь
P = 0,3015
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 81,4 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,95
z з таблиці
z ≈ 1,64
Назад до початкових одиниць
x = 65 + 1,64·10 = 81,4 балів
Відповідь
x = 81,4 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 10,97 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 117 − 111 = 6
Стандартна похибка
SE = √(17²/80 + 3²/80) = 1,93
Похибка оцінки
E = 2,576·1,93 = 4,972
Інтервал
6 ± 4,972 → [1,028, 10,97]
Відповідь
верхня межа = 10,97 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 11,26 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 20·7,8² = 1217
Межі для σ²
1217/34,17 = 35,61
1217/9,591 = 126,9
Межа для σ
σ = √126,9 = 11,26 µm
Відповідь
σ = 11,26 µm
95 % інтервал для σ: [5,967, 11,26] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,0392
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 32/√64 = 4
z = (72,96 − 80)/4 = −1,76
Площа хвоста
Φ(1,76) = 0,9608
1 − Φ(1,76) = 0,0392
p-значення
p = 0,0392
Відповідь
p = 0,0392
p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 112
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 0,842)·5/1,5)² = 111,5
Округліть угору
n = 112
Відповідь
n = 112
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9644
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 248/5 = 49,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 87,2
Коефіцієнт детермінації
r² = 29²/(10·87,2) = 0,9644
Відповідь
r² = 0,9644
Близько 96,44% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 3,333
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 80/5 = 16
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Лінія регресії
b = −30/10 = −3
a = 16 − (−3)·3 = 25
ŷ = 25 − 3·x
Розв’яжіть щодо x
x = (15 − 25)/(−3) = 3,333
Відповідь
x = 3,333
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.