Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €20 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 3,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €20 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €100 наприкінці кожного місяця протягом 21 років. Рахунок дає 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1004,2% / 12N = 252
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €10 000, €9 000, €11 000, €7 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Інвестиція €10 000 приносить €1 500 наприкінці кожного року протягом 9 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €10 000CF = €1 500n = 9
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 6 років і виплачує річні купони. Вона продається за €852, коли дохідність до погашення становить 6%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 6P = €852YTM = 6%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 3 років. Дохідність до погашення 3,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 7%n = 3YTM = 3,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,4. Вартість власного капіталу 13%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 25%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,4re = 13%rd = 6%T = 25%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Акції компанії мають бету 1,1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,2. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 28%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 5,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 757,9 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 757,9 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 80%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 4,7. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за тими самими даними?
90%n₁ = 25E₁ = 4,799%
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 84,5 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 88,5 kg, стандартне відхилення 10 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 25 студентів має середній бал 107,6 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 107,6s = 20n = 25
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 36 вимірювань має середнє 72,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 72,8σ = 12n = 3695%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 82?
n = 6ŷ = 82
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 1 × 10⁶ €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 10 000/1,05 = 9 523,81
CF2/(1 + 0,05)2 = 9 000/1,103 = 8 163,27
CF3/(1 + 0,05)3 = 11 000/1,158 = 9 502,21
CF4/(1 + 0,05)4 = 7 000/1,216 = 5 758,92
Додайте
NPV = €2 948,21
Відповідь
NPV = €2 948,21
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 6,463 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−9)/i = 10 000/1 500 = 6,667
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 6%: 6,802
i = 7%: 6,515
IRR = 6,463%
Відповідь
IRR = 6,463%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 2,99 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,06)−6 = €704,96
Купон
C = (852 − 704,96)/4,917 = €29,90
Купонна ставка
c = 29,9/1000 = 2,99%
Відповідь
c = 2,99%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 2,817 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 70/1,035 = 67,63, t·PV = 67,63
t = 2: 70/1,071 = 65,35, t·PV = 130,69
t = 3: 1070/1,109 = 965,08, t·PV = 2 895,24
Дюрація
P = 1 098,06
D = 3 093,56/1 098,06 = 2,817
Відповідь
D = 2,817 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,57 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·13% + 0,2857·6%·(1 − 0,25) = 10,57%
Відповідь
WACC = 10,57%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 15 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,1/(1 + 0,72·0,2) = 0,9615
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,9615·(1 + 0,72·1,5) = 2
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 2·5,5% = 15%
Відповідь
re = 15%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 10,76
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Відповідь
P = 0,7257
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,6651
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Відповідь
P = 0,6651
12.Імовірність
Відповідь: σY = 4,44
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,9, Var(X) = 2,19, σX = 1,48
Лінійна зміна
σY = |3|·1,48 = 4,44
Відповідь
σY = 4,44
Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·2,9 − 3 = 5,7.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,2119
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Стандартизуйте
z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 112,6 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Назад до x
x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 балів
Відповідь
x = 112,62 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 7,36
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(25/25) = 1,566
Нова похибка
E₂ = 4,7·1,566 = 7,36
Відповідь
E₂ = 7,36
16.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 9,363 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (8·6,5² + 4·10²)/12 = 61,5
sp = 7,842
Похибка оцінки
E = 3,055·7,842·√(1/9 + 1/5) = 13,36
Інтервал
−4 ± 13,36 → [−17,36, 9,363]
Відповідь
верхня межа = 9,363 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,1
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Статистика критерію
t = (107,6 − 120)/4 = −3,1
Відповідь
t = −3,1
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 68,88
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·12/√36 = 3,92
Межа інтервалу
L = 72,8 − 3,92 = 68,88
Відповідь
L = 68,88
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9508
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 288/5 = 57,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Syy = Σ(y − ȳ)² = 545,2
Коефіцієнт детермінації
r² = 144²/(40·545,2) = 0,9508
Відповідь
r² = 0,9508
Близько 95,08% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 22,39
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 483/6 = 80,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 271
Лінія регресії
b = 271/70 = 3,871
a = 80,5 − 3,871·22 = −4,671
ŷ = −4,671 + 3,871·x
Розв’яжіть щодо x
x = (82 − (−4,671))/3,871 = 22,39
Відповідь
x = 22,39
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.