Через 4 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 4 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €40 0004% / 4n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €15 0003% / 12N = 36
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €80 000. Він приносить €16 500 наприкінці кожного року протягом 6 років, а потім його можна продати за €8 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €80 000CF = €16 500S = €8 000n = 6r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €16 500, €22 500, €20 500 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 3%n = 6
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 4 років і продається за €1 055. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 4P = €1 055
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 13,09%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 20%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
У компанії 2 000 000 акцій по €29,00 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 82,5?
μ = 70σ = 10x = 82,5
P =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 8 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 8
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €9 з імовірністю 0,25 і €150 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €3€9: p = 0,25€150: p = 0,05
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,8485. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,8485
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 80%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 1,2. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 50 спостережень?
99%n₁ = 25E₁ = 1,2n₂ = 50
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 20 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 2,5 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 19 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 8,907 і 2,5 % — вище від 32,852.
n = 20s = 2,5 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 12 студентів, середній бал 35, стандартне відхилення 10. Група 2: 10 студентів, середній бал 42,7, стандартне відхилення 5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 12x̄₁ = 35s₁ = 10n₂ = 10x̄₂ = 42,7s₂ = 5
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ > 500 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 7,5. Насправді середнє дорівнює 506. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 500μ = 506σ = 7,5n = 25α = 0,01
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 121?
n = 6ŷ = 121
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 34113 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·4 = 16
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,173 = €34 112,85
Відповідь
PV = €34 112,85
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 436,2 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·3 = 36
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,914
A = 15 000·0,0025/(1 − 0,914) = €436,22
Відповідь
A = €436,22
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −8109 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
16 500·4,111 = 67 838,22
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
8 000/1,974 = 4 053,05
NPV
NPV = −80 000 + 67 838,22 + 4 053,05 = −€8 108,73
Відповідь
NPV = −€8 108,73
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 16,99 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
16 500·1,082 = 19 245,60
22 500·1,081 = 24 300,00
20 500·1,080 = 20 500,00
TV = 64 045,60
MIRR
MIRR = (64 045,60/40 000)1/3 − 1 = 16,99%
Відповідь
MIRR = 16,99%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1164 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,015, N = 12
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,8364)/0,015 = €327,23
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8364 = €836,39
Ціна
P = €1 163,61
Відповідь
P = €1 163,61
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 2,537 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 055 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(2%) = €1 076,15, P(3%) = €1 037,17
YTM = 2,537%
Відповідь
YTM = 2,537%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 14 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091
Частка боргу у WACC
0,09091·5%·(1 − 0,2) = 0,3636%
Вартість власного капіталу
re = (13,09% − 0,3636%)/0,9091 = 14%
Відповідь
re = 14%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,874 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 000 000·€29,00 = €58 000 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,1·6% = 9,6%
Ваги
V = €98 800 000, E/V = 0,587, D/V = 0,413
WACC
WACC = 0,587·9,6% + 0,413·4%·(1 − 0,25) = 6,874%
Відповідь
WACC = 6,874%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 16,05
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблиця нормального розподілу
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Відповідь
P = 0,1056
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,7674
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Відповідь
P = 0,7674
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 6,75 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 6 (p = 0,25), 147 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)
Математичне сподівання
E(G) = 6·0,25 + 147·0,05 − 3·0,7 = 6,75 €
Відповідь
E(G) = 6,75 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = −1,03
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,8485 = 0,1515
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,1515 усередині таблиці й зчитайте z.
z = −1,03
Відповідь
z = −1,03
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 73,42 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Назад до x
x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 балів
Відповідь
x = 73,42 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 0,8485
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/50) = 0,7071
Нова похибка
E₂ = 1,2·0,7071 = 0,8485
Відповідь
E₂ = 0,8485
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 1,901 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 19·2,5² = 118,8
Межі для σ²
118,8/32,852 = 3,615
118,8/8,907 = 13,33
Межа для σ
σ = √3,615 = 1,901 µm
Відповідь
σ = 1,901 µm
95 % інтервал для σ: [1,901, 3,651] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,209
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (11·10² + 9·5²)/20 = 66,25
sp = 8,139
Стандартна похибка
SE = 8,139·√(1/12 + 1/10) = 3,485
Статистика критерію
t = (35 − 42,7)/3,485 = −2,209
Відповідь
t = −2,209
При df = 20 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,086; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 95,29 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 500 + 2,326·1,5 = 503,5
z при справжньому середньому
z = (503,5 − 506)/1,5 = −1,674
Потужність
потужність = P(Z > −1,674) = 95,29%
1 − β = 95,29%
Відповідь
1 − β = 95,29%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9642
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 111/5 = 22,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 96,8
Коефіцієнт кореляції
r = −30/√(10·96,8) = −0,9642
Відповідь
r = −0,9642
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 22,13
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 722/6 = 120,3
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 364
Лінія регресії
b = 364/70 = 5,2
a = 120,3 − 5,2·22 = 5,933
ŷ = 5,933 + 5,2·x
Розв’яжіть щодо x
x = (121 − 5,933)/5,2 = 22,13
Відповідь
x = 22,13
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.