Через 6 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €10 0006% / 4n = 6
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 23 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €507,2% / 12N = 276
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €40 000, служить 10 років, а його експлуатація коштує €5 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 10r = 6%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €10 000 і приносить €7 000, €4 500, €3 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 4 500CF3 = 3 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 6 років і виплачує річні купони. Вона продається за €926, коли дохідність до погашення становить 6%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 6P = €926YTM = 6%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 4 років і продається за €1 035. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 4P = €1 035
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 10%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €56,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 70?
μ = 60σ = 5x = 70
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 6p = 0,4
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 23 і 41 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 32σ = 6x1 = 23x2 = 41
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 50 телефонів, середнє 101 h, відоме стандартне відхилення 19 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 87 h, відоме стандартне відхилення 7 h. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 12. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 12E = 1,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 10 студентів, середній бал 79, стандартне відхилення 8. Група 2: 16 студентів, середній бал 69, стандартне відхилення 8. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 10x̄₁ = 79s₁ = 8n₂ = 16x̄₂ = 69s₂ = 8
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 18. Насправді середнє дорівнює 45.2. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 50μ = 45,2σ = 18n = 36α = 0,10
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 29?
n = 5ŷ = 29
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 6995 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·6 = 24
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,43 = €6 995,44
Відповідь
PV = €6 995,44
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 35104 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,06−10)/0,06 = 7,36
Ціна придбання, перерахована на рік
40 000/7,36 = 5 434,72
EAC
EAC = 5 434,72 + 5 000 = €10 434,72
Відповідь
EAC = €10 434,72
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 27,08 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 272,00
NPV(30%) = −359,58
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 25 + 5·272,00/(272,00 − (−359,58)) = 27,15%
точно: NPV(27,08%) = 0 → IRR = 27,08%
Відповідь
IRR = 27,08%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 4,495 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,06)−6 = €704,96
Купон
C = (926 − 704,96)/4,917 = €44,95
Купонна ставка
c = 44,95/1000 = 4,495%
Відповідь
c = 4,495%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,967 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 035 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 069,30, P(7%) = €1 033,87
YTM = 6,967%
Відповідь
YTM = 6,967%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,44 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·10% + 0,6667·4%·(1 − 0,21) = 5,44%
Відповідь
WACC = 5,44%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,845 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 500 000·€56,00 = €140 000 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 1,3·5% = 9%
Ваги
V = €144 800 000, E/V = 0,9669, D/V = 0,03315
WACC
WACC = 0,9669·9% + 0,03315·6%·(1 − 0,28) = 8,845%
Відповідь
WACC = 8,845%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 12,68
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 2
Таблиця нормального розподілу
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Відповідь
P = 0,9772
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 0,6475
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Дисперсія
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Відповідь
Var(X) = 0,6475
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,2333
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,66 = 0,04666
P(X = 1) = 6·0,4·0,65 = 0,1866
Додайте
P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333
Відповідь
P = 0,2333
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8664
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (23 − 32)/6 = −1,5
z₂ = (41 − 32)/6 = 1,5
Площа між
P = Φ(1,5) − Φ(−1,5) = 0,9332 − 0,06681 = 0,8664
Відповідь
P = 0,8664
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 75,33 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Назад до x
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 балів
Відповідь
x = 75,33 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 6,335 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 101 − 87 = 14
Стандартна похибка
SE = √(19²/50 + 7²/30) = 2,975
Похибка оцінки
E = 2,576·2,975 = 7,665
Інтервал
14 ± 7,665 → [6,335, 21,66]
Відповідь
нижня межа = 6,335 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 246
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·12/1,5)² = 245,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 246
Відповідь
n = 246
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 3,101
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (9·8² + 15·8²)/24 = 64
sp = 8
Стандартна похибка
SE = 8·√(1/10 + 1/16) = 3,225
Статистика критерію
t = (79 − 69)/3,225 = 3,101
Відповідь
t = 3,101
При df = 24 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,064; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 37,52 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 50 − 1,282·3 = 46,15
z при справжньому середньому
z = (46,15 − 45,2)/3 = 0,318
Помилка другого роду
потужність = P(Z < 0.318) = 62.48%
β = 100% − 62,48% = 37,52%
Відповідь
β = 37,52%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9835
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 109/6 = 18,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 175
Syy = Σ(y − ȳ)² = 444,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 175²/(70·444,8) = 0,9835
Відповідь
r² = 0,9835
Близько 98,35% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 9,138
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 94/5 = 18,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Лінія регресії
b = 130/40 = 3,25
a = 18,8 − 3,25·6 = −0,7
ŷ = −0,7 + 3,25·x
Розв’яжіть щодо x
x = (29 − (−0,7))/3,25 = 9,138
Відповідь
x = 9,138
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.