Через 4 років вам потрібно €25 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €25 0005% / 12n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €10 000 під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €200. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €10 000A = €2003,6% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €28 000, €14 000, €19 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €15 000, €17 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 17 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% і погашається через 15 років. Її дохідність до погашення змінюється з 9% до 10%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 3%n = 15y1 = 9%y2 = 10%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 5% двома піврічними платежами й погашається через 8 років. Вона продається за €968. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 5% (2×)n = 8P = €968
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €10 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 000 000 і боргом вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу 12%, вартість привілейованого капіталу 6,5%, вартість боргу до оподаткування 4%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
У компанії 4 000 000 акцій по €28,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 20%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 122,5.
μ = 100σ = 15x = 122,5
z =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 6
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,25 і €30 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €3€15: p = 0,25€30: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 420 і 540 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 500σ = 40x1 = 420x2 = 540
P =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 25% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 елементів має середнє 66 і стандартне відхилення s = 6. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 25x̄ = 66s = 695%t(24) = 2,064
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 25. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 25E = 2,599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 студентів має середній бал 121,4 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 121,4s = 10n = 25
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 81 вимірювань має середнє 197,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 197,5σ = 8n = 8195%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 1,5.
n = 6x = 1,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 20477 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·4 = 48
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,221 = €20 476,78
Відповідь
PV = €20 476,78
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 55 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,003/200 = 0,85
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,85)/ln(1,003) = 54,25
Округлення вгору до повних платежів
Після 54 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 55
Відповідь
N = 55 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −6989 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 28 000/1,08 = 25 925,93
CF2/(1 + 0,08)2 = 14 000/1,166 = 12 002,74
CF3/(1 + 0,08)3 = 19 000/1,26 = 15 082,81
Додайте
NPV = €−6 988,52
Відповідь
NPV = €−6 988,52
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 17,75 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 897,92
NPV(20%) = −694,44
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 15 + 5·897,92/(897,92 − (−694,44)) = 17,82%
точно: NPV(17,75%) = 0 → IRR = 17,75%
Відповідь
IRR = 17,75%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −48,78 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, N = 16
Чисельний розв’язок
i = 2,75% за півроку
YTM
YTM = 2·2,75% = 5,5%
Відповідь
YTM = 5,5%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,894 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (122,5 − 100)/15 = 1,5
Відповідь
z = 1,5
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,6651
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Відповідь
P = 0,6651
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 1,35 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 12 (p = 0,25), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,73)
Математичне сподівання
E(G) = 12·0,25 + 27·0,02 − 3·0,73 = 1,35 €
Відповідь
E(G) = 1,35 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8186
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (420 − 500)/40 = −2
z₂ = (540 − 500)/40 = 1
Площа між
P = Φ(1) − Φ(−2) = 0,8413 − 0,02275 = 0,8186
Відповідь
P = 0,8186
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 253,4 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,75
z з таблиці
z ≈ 0,67
Назад до початкових одиниць
x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g
Відповідь
x = 253,4 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 2,477
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Похибка оцінки
E = 2,064·6/√25 = 2,477
Відповідь
E = 2,477
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 664
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·25/2,5)² = 663,6
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 664
Відповідь
n = 664
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
Статистика критерію
t = (121,4 − 120)/2 = 0,7
Відповідь
t = 0,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 195,8
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·8/√81 = 1,742
Межа інтервалу
L = 197,5 − 1,742 = 195,8
Відповідь
L = 195,8
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,8293
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 352/6 = 58,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Syy = Σ(y − ȳ)² = 377,3
Коефіцієнт детермінації
r² = 74²/(17,5·377,3) = 0,8293
Відповідь
r² = 0,8293
Близько 82,93% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 44,34
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 312/6 = 52
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67
Лінія регресії
b = 67/17,5 = 3,829
a = 52 − 3,829·3,5 = 38,6
ŷ = 38,6 + 3,829·x
Прогноз
ŷ = 38,6 + 3,829·1,5 = 44,34
Відповідь
ŷ = 44,34
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.