Ануїтет виплачує €500 наприкінці кожного року протягом 15 років. Процентна ставка 5 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €500i = 5%n = 15
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 15? Знайдіть залишок боргу B.
P = €150 0007,2% / 12N = 300k = 180
B = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €20 000 і приносить €6 000 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €20 500, €18 000, €25 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 20 500CF2 = 18 000CF3 = 25 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 15 років і виплачує річні купони. Вона продається за €896, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 15P = €896YTM = 5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% двома піврічними платежами й погашається через 11 років. Вона продається за €1 466. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 8% (2×)n = 11P = €1 466
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 1. Вартість власного капіталу 10%, вартість боргу до оподаткування 7%, а ставка податку 25%. Знайдіть WACC.
D/E = 1re = 10%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 5 000 000 акцій по €27,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 10%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 40. Знайдіть z-оцінку z для результату 440.
μ = 500σ = 40x = 440
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?
n = 12p = 0,4k = 3
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,7580. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,7580
z =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 60% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 11 елементів має середнє 31,5 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 11x̄ = 31,5s = 4,599%t(10) = 3,169
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 33 kg, стандартне відхилення 1,5 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 30,5 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 16 студентів має середній бал 184,5 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 184,5s = 20n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 15. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (6,5, 78). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(6,5, 78)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 5190 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,481)/0,05 = 10,38
Теперішня вартість
PV = 500·10,38 = €5 189,83
Відповідь
PV = €5 189,83
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 92143 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 300 − 180 = 120
B = 1079·(1 − (1 + 0,006)−120)/0,006 = €92 143,23
Відповідь
B = €92 143,23
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 4,263 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 6 000/1,1 = 5 454,55 → Σ = 5 454,55
рік 2: 6 000/1,21 = 4 958,68 → Σ = 10 413,22
рік 3: 6 000/1,331 = 4 507,89 → Σ = 14 921,11
рік 4: 6 000/1,464 = 4 098,08 → Σ = 19 019,19
рік 5: 6 000/1,611 = 3 725,53 → Σ = 22 744,72
Частка останнього року
DPB = 4 + 980,81/3 725,53 = 4,263
Відповідь
DPB = 4,263 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,333 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 12,5 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(10%) = 2 295,27
NPV(15%) = −2 125,42
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,05)−15 = €481,02
Купон
C = (896 − 481,02)/10,38 = €39,98
Купонна ставка
c = 39,98/1000 = 3,998%
Відповідь
c = 3,998%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 2,996 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, N = 22
Чисельний розв’язок
i = 1,498% за півроку
YTM
YTM = 2·1,498% = 2,996%
Відповідь
YTM = 2,996%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,625 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·7%·(1 − 0,25) = 7,625%
Відповідь
WACC = 7,625%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 13,6 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (440 − 500)/40 = −1,5
Відповідь
z = −1,5
11.Імовірність
Відповідь: σ = 2,4
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3,2
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,15 + 36·0,35 = 16
Дисперсія
Var(X) = 16 − 3,2² = 5,76
σ = √5,76 = 2,4
Відповідь
σ = 2,4
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,1419
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,7580 = 0,2420
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,2420 усередині таблиці й зчитайте z.
z = −0,70
Відповідь
z = −0,70
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 248,8 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,4
z з таблиці
z ≈ −0,25
Назад до початкових одиниць
x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g
Відповідь
x = 248,8 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 27,2
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Похибка оцінки
E = 3,169·4,5/√11 = 4,3
Інтервал
31,5 ± 4,3 → [27,2, 35,8]
Відповідь
нижня межа = 27,2
16.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 3,047 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (4·1,5² + 6·3,5²)/10 = 8,25
sp = 2,872
Похибка оцінки
E = 1,812·2,872·√(1/5 + 1/7) = 3,047
Відповідь
E = 3,047 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,1
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Статистика критерію
t = (184,5 − 200)/5 = −3,1
Відповідь
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 733
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,282)·15/2)² = 732,2
Округліть угору
n = 733
Відповідь
n = 733
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9932
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 277/5 = 55,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34
Syy = Σ(y − ȳ)² = 117,2
Коефіцієнт кореляції
r = 34/√(10·117,2) = 0,9932
Відповідь
r = 0,9932
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 2,2
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 346/5 = 69,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44
Лінія регресії
b = 44/10 = 4,4
a = 69,2 − 4,4·5 = 47,2
ŷ = 47,2 + 4,4·x
Прогнозоване значення
ŷ = 47,2 + 4,4·6,5 = 75,8
Залишок
e = 78 − 75,8 = 2,2
Відповідь
e = 2,2
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.