Ануїтет виплачує €500 наприкінці кожного року протягом 17 років. Процентна ставка 8 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €500i = 8%n = 17
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €25 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €25 0004,8% / 12N = 36
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €13 000, €12 000, €11 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €5 000, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €12 000 і приносить €3 000, €5 000, €6 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 15 років. Її дохідність до погашення змінюється з 6% до 7%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 2%n = 15y1 = 6%y2 = 7%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 10 років і продається за €870. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 10P = €870
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €39,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 124?
μ = 100σ = 12x = 124
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.
n = 12k = 5
N =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,7. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 9p = 0,7
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 4 з них перевищує 45,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4> 45,6 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 61,5 h, відоме стандартне відхилення 19 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 75 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,1 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,01?
p ≈ 0,1E = 0,0195%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 студентів має середній бал 44,6 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 44,6s = 12n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 100 вимірювань має середнє 120,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 120,6σ = 4n = 10090%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4.
n = 6x = 4
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 4561 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2703)/0,08 = 9,122
Теперішня вартість
PV = 500·9,122 = €4 560,82
Відповідь
PV = €4 560,82
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 747 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·3 = 36
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 25 000·0,004/(1 − 0,8661) = €747,03
Відповідь
A = €747,03
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 1610 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 13 000/1,07 = 12 149,53
CF2/(1 + 0,07)2 = 12 000/1,145 = 10 481,26
CF3/(1 + 0,07)3 = 11 000/1,225 = 8 979,28
Додайте
NPV = €1 610,07
Відповідь
NPV = €1 610,07
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 5,302 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 000 = −2 000
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 000 − 2 500 = 3 500
IRR різниці
NPVΔ(5%) = 25,70
NPVΔ(6%) = −58,13
r* = 5,302%
Відповідь
r* = 5,302%
Перевірка: при 5,302% обидві NPV дорівнюють €496,59.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −66,91 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€870 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Чисельний розв’язок
P(9%) = €871,65, P(10%) = €815,66
YTM = 9,028%
Відповідь
YTM = 9,028%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,875 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·12% + 0,25·5%·(1 − 0,3) = 9,875%
Відповідь
WACC = 9,875%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,52 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 500 000·€39,50 = €98 750 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 0,6·5,5% = 6,8%
Ваги
V = €108 750 000, E/V = 0,908, D/V = 0,09195
WACC
WACC = 0,908·6,8% + 0,09195·5%·(1 − 0,25) = 6,52%
Відповідь
WACC = 6,52%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 13,24
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 2
Таблиця нормального розподілу
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
11.Імовірність
Відповідь: N = 792
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792
Відповідь
N = 792
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,000433
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,39 = 1,968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0,7·0,38 = 0,0004133
Додайте
P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433
Відповідь
P = 0,000433
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9332
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 48 kg, σT = 0,8·√4 = 1,6 kg
Стандартизуйте
z = (45,6 − 48)/1,6 = −1,5
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332
Відповідь
P = 0,9332
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9616
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616
Відповідь
P = 0,9616
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = −6,589 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 61,5 − 75 = −13,5
Стандартна похибка
SE = √(19²/30 + 4²/40) = 3,526
Похибка оцінки
E = 1,96·3,526 = 6,911
Інтервал
−13,5 ± 6,911 → [−20,41, −6,589]
Відповідь
верхня межа = −6,589 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 3458
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 1,96²·0,1·0,9/0,01² = 3457
Округліть угору
n = 3458
Відповідь
n = 3458
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,8
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Статистика критерію
t = (44,6 − 50)/3 = −1,8
Відповідь
t = −1,8
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 119,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·4/√100 = 0,658
Межа інтервалу
L = 120,6 − 0,658 = 119,9
Відповідь
L = 119,9
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,8547
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
Syy = Σ(y − ȳ)² = 46,8
Коефіцієнт детермінації
r² = −20²/(10·46,8) = 0,8547
Відповідь
r² = 0,8547
Близько 85,47% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 50,12
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 395/6 = 65,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 275
Лінія регресії
b = 275/70 = 3,929
a = 65,83 − 3,929·8 = 34,4
ŷ = 34,4 + 3,929·x
Прогноз
ŷ = 34,4 + 3,929·4 = 50,12
Відповідь
ŷ = 50,12
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.