Через 4 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €20 0003,6% / 4n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €15 0003% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €40 000, служить 9 років, а його експлуатація коштує €5 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 9r = 10%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €2 000 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €12 000 і приносить €3 500, €5 000, €6 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 8%n = 3
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 4 років і продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 4P = €935
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €58,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 167,15 і 183,95 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 167,15x2 = 183,95
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −5 і стандартне відхилення 7. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 16d̄ = −5sd = 795%t(15) = 2,131
верхня межа = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 20 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 3,8 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 19 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 8,907 і 2,5 % — вище від 32,852.
n = 20s = 3,8 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 49 студентів має середній бал 116,1 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116,1s = 15n = 49
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 100 вимірювань має середнє 201,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 201,4σ = 5n = 10090%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (18,5, 104). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(18,5, 104)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 17329 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·4 = 16
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,154 = €17 328,91
Відповідь
PV = €17 328,91
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 332 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 15 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €332,01
Відповідь
A = €332,01
3.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 11946 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Ціна придбання, перерахована на рік
40 000/5,759 = 6 945,62
EAC
EAC = 6 945,62 + 5 000 = €11 945,62
Відповідь
EAC = €11 945,62
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 9,256 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 6 000 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 000 = 4 500
IRR різниці
NPVΔ(9%) = 22,93
NPVΔ(10%) = −65,36
r* = 9,256%
Відповідь
r* = 9,256%
Перевірка: при 9,256% обидві NPV дорівнюють €376,20.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 947,6 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,04, N = 6
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,7903)/0,04 = €157,26
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7903 = €790,31
Ціна
P = €947,58
Відповідь
P = €947,58
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,961 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76
YTM = 7,961%
Відповідь
YTM = 7,961%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,319 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444
WACC
WACC = 0,5556·9% + 0,4444·4%·(1 − 0,258) = 6,319%
Відповідь
WACC = 6,319%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,993 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2667
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667
Відповідь
P = 0,2667
12.Імовірність
Відповідь: σY = 38,42
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 26, Var(X) = 164, σX = 12,81
Лінійна зміна
σY = |3|·12,81 = 38,42
Відповідь
σY = 38,42
Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·26 + 4 = 82.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7418
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Назад до x
x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h
Відповідь
x = 434,2 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = −1,271 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 15, t = 2,131
Похибка оцінки
E = 2,131·7/√16 = 3,729
Інтервал
−5 ± 3,729 → [−8,729, −1,271]
Відповідь
верхня межа = −1,271 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 2,89 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 19·3,8² = 274,4
Межі для σ²
274,4/32,852 = 8,351
274,4/8,907 = 30,8
Межа для σ
σ = √8,351 = 2,89 µm
Відповідь
σ = 2,89 µm
95 % інтервал для σ: [2,89, 5,55] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,82
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143
Статистика критерію
t = (116,1 − 120)/2,143 = −1,82
Відповідь
t = −1,82
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 202,2
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·5/√100 = 0,8225
Межа інтервалу
U = 201,4 + 0,8225 = 202,2
Відповідь
U = 202,2
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9908
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 582/6 = 97
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 738
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3490
Коефіцієнт детермінації
r² = 738²/(157,5·3490) = 0,9908
Відповідь
r² = 0,9908
Близько 99,08% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 1,814
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 813/6 = 135,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 874,5
Лінія регресії
b = 874,5/157,5 = 5,552
a = 135,5 − 5,552·24,5 = −0,5333
ŷ = −0,5333 + 5,552·x
Прогнозоване значення
ŷ = −0,5333 + 5,552·18,5 = 102,2
Залишок
e = 104 − 102,2 = 1,814
Відповідь
e = 1,814
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.