Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €10 000 під 7 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 13 років.

PV = €10 000r = 7%t = 13

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €20 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 5 років. Ставка — 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €20 0004,8% / 12N = 60

A = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €28 000, €15 000, €17 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 28 000CF₂ = 15 000CF₃ = 17 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €50 000. Його грошовий потік становить €10 000 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 5. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €10 000g = 5%n = 5r = 10%

NPV = €

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 6%n = 10

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 4 років. Дохідність до погашення 5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 4%n = 4YTM = 5%

D = роки

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.

E = €3 000 000D = €1 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,8. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Ставка податку 28%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e за нової структури капіталу.

β_U = 0,8D/E = 0,4T = 28%r_f = 3,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 50, 37, 44, 38, 41, 59.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 40. Яка частка P значень менша за 480?

μ = 500σ = 40x = 480

P =

11.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 3 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 3

P =

12.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 0,5X + 5

σ_Y =

13.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8132. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8132

z =

14.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 10% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів10%

x = балів

15.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 8 елементів має середнє 109,5 і стандартне відхилення s = 15. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 8x̄ = 109,5s = 1595%t(7) = 2,365

E =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 38. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 38E = 1,595%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 118,8 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,8s = 4n = 81

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 504,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 504,7σ = 15n = 4995%

U =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 24843 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,07·13 = 0,91

e^0,91 = 2,484

Майбутня вартість

FV = 10 000·2,484 = €24 843,23

Відповідь

FV = €24 843,23

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 375,6 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·5 = 60

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,787

A = 20 000·0,004/(1 − 0,787) = €375,59

Відповідь

A = €375,59

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −6853 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 28 000/1,07 = 26 168,22

CF₂/(1 + 0,07)² = 15 000/1,145 = 13 101,58

CF₃/(1 + 0,07)³ = 17 000/1,225 = 13 877,06

Додайте

NPV = €−6 853,13

Відповідь

NPV = €−6 853,13

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −8494 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,05)/(1,1))⁵ = 0,7925

PV = 10 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,7925) = 41 505,91

NPV

NPV = 41 505,91 − 50 000 = −€8 494,09

Відповідь

NPV = −€8 494,09

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 776,8 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €15,00, i = 0,03, N = 20

Теперішня вартість купонів

€15,00·(1 − 0,5537)/0,03 = €223,16

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,5537 = €553,68

Ціна

P = €776,84

Відповідь

P = €776,84

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 3,77 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 40/1,05 = 38,10, t·PV = 38,10

t = 2: 40/1,103 = 36,28, t·PV = 72,56

t = 3: 40/1,158 = 34,55, t·PV = 103,66

t = 4: 1040/1,216 = 855,61, t·PV = 3 422,44

Дюрація

P = 964,54

D = 3 636,76/964,54 = 3,77

Відповідь

D = 3,77 роки

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,935 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·9% + 0,25·6%·(1 − 0,21) = 7,935%

Відповідь

WACC = 7,935%

8.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 7,622 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Бета з урахуванням боргу

β_L = 0,8·(1 + 0,72·0,4) = 1,03

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,03·4% = 7,622%

Відповідь

r_e = 7,622%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 8,377

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 269/6 = 44,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 5,167² + (−7,833)² + (−0,8333)² + (−6,833)² + (−3,833)² + 14,17² = 350,8

Стандартне відхилення

s = √(350,8/5) = 8,377

Відповідь

s = 8,377

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3085

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Відповідь

P = 0,3085

11.Імовірність

Відповідь: P = 0,4213

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Відповідь

P = 0,4213

12.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 0,4023

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·0,8047 = 0,4023

Відповідь

σ_Y = 0,4023

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·0,95 + 5 = 5,475.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,32

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8132)/2 = 0,9066

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9066 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,32

Відповідь

z = 1,32

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 52,2 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,1

z з таблиці

z ≈ −1,28

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 балів

Відповідь

x = 52,2 балів

15.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 12,54

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Похибка оцінки

E = 2,365·15/√8 = 12,54

Відповідь

E = 12,54

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2466

Виразіть n

n = (1,96·38/1,5)² = 2465

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 2466

Відповідь

n = 2466

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Статистика критерію

t = (118,8 − 120)/0,4444 = −2,7

Відповідь

t = −2,7

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 508,9

Похибка оцінки

E = 1,96·15/√49 = 4,2

Межа інтервалу

U = 504,7 + 4,2 = 508,9

Відповідь

U = 508,9

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9569

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 543/5 = 108,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1227

Коефіцієнт кореляції

r = 212/√(40·1227) = 0,9569

Відповідь

r = 0,9569

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 21,2

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 127/5 = 25,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

Лінія регресії

b = 168/40 = 4,2

a = 25,4 − 4,2·6 = 0,2

ŷ = 0,2 + 4,2·x

Прогноз

ŷ = 0,2 + 4,2·5 = 21,2

Відповідь

ŷ = 21,2

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income