Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 24 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 24%m = 365

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €200 0007,2% / 12N = 300

I = €

3.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €30 000. Він приносить €5 000 наприкінці кожного року протягом 6 років, а потім його можна продати за €7 500. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €30 000CF = €5 000S = €7 500n = 6r = 10%

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €28 000, €16 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 000CF₂ = 16 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 7% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 7%n = 4

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% двома піврічними платежами й погашається через 11 років. Вона продається за €855. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.

F = €1 000купон = 6% (2×)n = 11P = €855

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,25. Вартість власного капіталу 10%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 25%. Знайдіть WACC.

D/E = 0,25r_e = 10%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 000 000 акцій по €45,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 20%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 6,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 6,5%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 28, 42, 13, 29, 57, 41.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Яка частка P значень менша за 536?

μ = 500σ = 60x = 536

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,2, 0,05, 0,35, 0,3

σ =

12.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 2X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35Y = 2X + 5

σ_Y =

13.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 454 і 560 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 454x₂ = 560

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 11 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 7 і стандартне відхилення 3,5. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 11d̄ = 7s_d = 3,595%t(10) = 2,228

верхня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 16. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 16E = 595%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 92,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 3 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 88,2 mm, відоме стандартне відхилення 11 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 60x̄₁ = 92,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 40x̄₂ = 88,2 mmσ₂ = 11 mm

z =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 5. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 5E = 190%

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 18?

n = 6ŷ = 18

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 27,11 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,24/365 = 0,0006575

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,0006575)³⁶⁵ − 1 = 1,271 − 1 = 27,11%

Відповідь

EAR = 27,11%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 231753 €

Щомісячний платіж

i = 0,006, N = 300

A = 200 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻³⁰⁰) = €1 439,18

Усього відсотків

I = N·A − P = 300·1439 − 200 000 = €231 753,21

Відповідь

I = €231 753,21

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −3990 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

5 000·4,355 = 21 776,30

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

7 500/1,772 = 4 233,55

NPV

NPV = −30 000 + 21 776,30 + 4 233,55 = −€3 990,14

Відповідь

NPV = −€3 990,14

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 8,144 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 1 632,65

NPV(10%) = −909,09

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·1 632,65/(1 632,65 − (−909,09)) = 8,212%

точно: NPV(8,144%) = 0 → IRR = 8,144%

Відповідь

IRR = 8,144%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 828,2 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €10,00, i = 0,035, N = 8

Теперішня вартість купонів

€10,00·(1 − 0,7594)/0,035 = €68,74

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,7594 = €759,41

Ціна

P = €828,15

Відповідь

P = €828,15

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 8,007 %

За період

C = €30,00, N = 22

Чисельний розв’язок

i = 4,004% за півроку

YTM

YTM = 2·4,004% = 8,007%

Відповідь

YTM = 8,007%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,9 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги з D/E

E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8

D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2

WACC

WACC = 0,8·10% + 0,2·6%·(1 − 0,25) = 8,9%

Відповідь

WACC = 8,9%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,599 %

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€45,50 = €91 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·4,5% = 7,4%

Ваги

V = €110 200 000, E/V = 0,8258, D/V = 0,1742

WACC

WACC = 0,8258·7,4% + 0,1742·3,5%·(1 − 0,2) = 6,599%

Відповідь

WACC = 6,599%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 15,09

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 210/6 = 35

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−7)² + 7² + (−22)² + (−6)² + 22² + 6² = 1138

Стандартне відхилення

s = √(1138/5) = 15,09

Відповідь

s = 15,09

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Відповідь

P = 0,7257

11.Імовірність

Відповідь: σ = 1,359

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,05 + 4·0,35 + 5·0,3 = 3,55

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,05 + 16·0,35 + 25·0,3 = 14,45

Дисперсія

Var(X) = 14,45 − 3,55² = 1,848

σ = √1,848 = 1,359

Відповідь

σ = 1,359

12.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,49

Розкид X

μ = 2,5, Var(X) = 1,55, σ_X = 1,245

Лінійна зміна

σ_Y = |2|·1,245 = 2,49

Відповідь

σ_Y = 2,49

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·2,5 + 5 = 10.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8081

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15

z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5

Площа між

P = Φ(1,5) − Φ(−1,15) = 0,9332 − 0,1251 = 0,8081

Відповідь

P = 0,8081

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 191,7 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Відповідь

x = 191,72 cm

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 9,351 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 10, t = 2,228

Похибка оцінки

E = 2,228·3,5/√11 = 2,351

Інтервал

7 ± 2,351 → [4,649, 9,351]

Відповідь

верхня межа = 9,351 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 40

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·16/5)² = 39,34

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 40

Відповідь

n = 40

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,413

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(3²/60 + 11²/40) = √3,175 = 1,782

Статистика критерію

z = (92,5 − 88,2)/1,782 = 2,413

Відповідь

z = 2,413

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 68

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·5/1)² = 67,65

Округліть угору

n = 68

Відповідь

n = 68

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9887

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 122/5 = 24,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 545,2

Коефіцієнт кореляції

r = 146/√(40·545,2) = 0,9887

Відповідь

r = 0,9887

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,056

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 150/6 = 25

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252

Лінія регресії

b = 252/70 = 3,6

a = 25 − 3,6·7 = −0,2

ŷ = −0,2 + 3,6·x

Розв’яжіть щодо x

x = (18 − (−0,2))/3,6 = 5,056

Відповідь

x = 5,056

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income