Кредитна картка нараховує номінальну ставку 22 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 22%m = 365
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €150 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €150 0002,4% / 12N = 300
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €6 000, €9 000, €10 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €5 000, €6 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 6 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 10 років і виплачує річні купони. Вона продається за €961, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 10P = €961YTM = 5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 20 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%) продається за €1 355. Емітент може достроково викупити її через 3 років за ціною викупу €1 060. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 6%P = €1 355ціна викупу = €1 060дострокове погашення через 3 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 1,5. Вартість власного капіталу 8%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
D/E = 1,5re = 8%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €33,50; балансова вартість її власного капіталу €50 300 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,60 на акцію, і дивіденди зростають на 2% на рік. Її борг має ринкову вартість €83 800 000 і вартість до оподаткування 5%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 120?
μ = 100σ = 10x = 120
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,2, 0,1
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 11p = 0,7k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 9 з них перевищує 358,2 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 358,2 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 15% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 10 елементів має середнє 80 і стандартне відхилення s = 5,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 10x̄ = 80s = 5,595%t(9) = 2,262
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,01?
p = 0,5E = 0,0199%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 40 деталей має середню довжину 139 mm, відоме стандартне відхилення лінії 14 mm. Лінія 2: вибірка з 30 деталей має середнє 135,3 mm, відоме стандартне відхилення 14 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 10E = 2,590%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 15). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 15)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 24,6 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,22/365 = 0,0006027
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0006027)365 − 1 = 1,246 − 1 = 24,6%
Відповідь
EAR = 24,6%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 665,4 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·25 = 300
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,5491
A = 150 000·0,002/(1 − 0,5491) = €665,40
Відповідь
A = €665,40
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 1210 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 6 000/1,08 = 5 555,56
CF2/(1 + 0,08)2 = 9 000/1,166 = 7 716,05
CF3/(1 + 0,08)3 = 10 000/1,26 = 7 938,32
Додайте
NPV = €1 209,93
Відповідь
NPV = €1 209,93
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 9,41 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(5%) = 657,60
NPV(10%) = −82,64
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 5 + 5·657,60/(657,60 − (−82,64)) = 9,442%
точно: NPV(9,41%) = 0 → IRR = 9,41%
Відповідь
IRR = 9,41%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 4,495 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,05)−10 = €613,91
Купон
C = (961 − 613,91)/7,722 = €44,95
Купонна ставка
c = 44,95/1000 = 4,495%
Відповідь
c = 4,495%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 50 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1355 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
Чисельний розв’язок
y = 50%: €398,52
y = 50%: €398,52
YTC = 50%
Відповідь
YTC = 50%
Дохідність до погашення 3,502%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,36 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·8% + 0,6·4,5%·(1 − 0,2) = 5,36%
Відповідь
WACC = 5,36%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,897 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 2
Таблиця нормального розподілу
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Відповідь
P = 0,9772
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 0,9475
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,1 = 2,05
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,1 = 5,15
Дисперсія
Var(X) = 5,15 − 2,05² = 0,9475
Відповідь
Var(X) = 0,9475
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,0005305
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 360 g, σT = 1,2·√9 = 3,6 g
Стандартизуйте
z = (358,2 − 360)/3,6 = −0,5
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Відповідь
P = 0,6915
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 255,2 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,85
z з таблиці
z ≈ 1,04
Назад до початкових одиниць
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
Відповідь
x = 255,2 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 3,934
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Похибка оцінки
E = 2,262·5,5/√10 = 3,934
Відповідь
E = 3,934
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 16590
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589
Округліть угору
n = 16590
Відповідь
n = 16590
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 1,094
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(14²/40 + 14²/30) = √11,43 = 3,381
Статистика критерію
z = (139 − 135,3)/3,381 = 1,094
Відповідь
z = 1,094
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 44
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,645·10/2,5)² = 43,3
Округліть угору
n = 44
Відповідь
n = 44
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9152
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 158/5 = 31,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46
Syy = Σ(y − ȳ)² = 231,2
Коефіцієнт детермінації
r² = 46²/(10·231,2) = 0,9152
Відповідь
r² = 0,9152
Близько 91,52% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −2,75
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 93/5 = 18,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Лінія регресії
b = −17/10 = −1,7
a = 18,6 − (−1,7)·3 = 23,7
ŷ = 23,7 − 1,7·x
Прогнозоване значення
ŷ = 23,7 + (−1,7)·3,5 = 17,75
Залишок
e = 15 − 17,75 = −2,75
Відповідь
e = −2,75
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.