Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €10 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 6,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €10 000g = 2,5%r = 6,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?
P = €150 0005,4% / 12N = 240
I = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €20 000, служить 10 років, а його експлуатація коштує €2 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €20 000M = €2 000n = 10r = 8%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €20 000 і приносить €12 000, €10 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 10 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 10 років і виплачує річні купони. Вона продається за €936, коли дохідність до погашення становить 9%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 10P = €936YTM = 9%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 8 років і продається за €1 090. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 8P = €1 090
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €58,00; балансова вартість її власного капіталу €174 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,20 на акцію, і дивіденди зростають на 3% на рік. Її борг має ринкову вартість €87 000 000 і вартість до оподаткування 5%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 152.
μ = 170σ = 15x = 152
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,1, 0,05
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 8p = 0,6
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0239. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,0239
z =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 75% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g75%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 11 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 5,3 і стандартне відхилення 2,8. Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 11d̄ = 5,3sd = 2,890%t(10) = 1,812
E = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 14. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?
σ = 14E = 490%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 49 студентів має середній бал 200,5 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 200,5s = 5n = 49
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 119,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 119,7σ = 8n = 4999%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3, 7). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(3, 7)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 250000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,08−10)/0,08 = 6,71
Ціна придбання, перерахована на рік
20 000/6,71 = 2 980,59
EAC
EAC = 2 980,59 + 2 000 = €4 980,59
Відповідь
EAC = €4 980,59
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 8,422 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(5%) = 952,38
NPV(10%) = −413,22
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 5 + 5·952,38/(952,38 − (−413,22)) = 8,487%
точно: NPV(8,422%) = 0 → IRR = 8,422%
Відповідь
IRR = 8,422%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 8,003 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,09)−10 = €422,41
Купон
C = (936 − 422,41)/6,418 = €80,03
Купонна ставка
c = 80,03/1000 = 8,003%
Відповідь
c = 8,003%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,521 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 090 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 124,20, P(7%) = €1 059,71
YTM = 6,521%
Відповідь
YTM = 6,521%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,984 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·4%·(1 − 0,258) = 6,984%
Відповідь
WACC = 6,984%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,225 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (152 − 170)/15 = −1,2
Відповідь
z = −1,2
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,248
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,48 = 0,0006554
P(X = 1) = 8·0,6·0,47 = 0,007864
Додайте
P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852
Відповідь
P = 0,00852
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,98
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,0239 = 0,9761
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9761 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,98
Відповідь
z = 1,98
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 253,4 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,75
z з таблиці
z ≈ 0,67
Назад до початкових одиниць
x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g
Відповідь
x = 253,4 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 1,53 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 10, t = 1,812
Похибка оцінки
E = 1,812·2,8/√11 = 1,53
Відповідь
E = 1,53 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 34
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·14/4)² = 33,15
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 34
Відповідь
n = 34
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Статистика критерію
t = (200,5 − 200)/0,7143 = 0,7
Відповідь
t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 116,8
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·8/√49 = 2,944
Межа інтервалу
L = 119,7 − 2,944 = 116,8
Відповідь
L = 116,8
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9921
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 111/6 = 18,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 181
Syy = Σ(y − ȳ)² = 475,5
Коефіцієнт кореляції
r = 181/√(70·475,5) = 0,9921
Відповідь
r = 0,9921
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −1,65
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 86/5 = 17,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
Лінія регресії
b = 114/40 = 2,85
a = 17,2 − 2,85·6 = 0,1
ŷ = 0,1 + 2,85·x
Прогнозоване значення
ŷ = 0,1 + 2,85·3 = 8,65
Залишок
e = 7 − 8,65 = −1,65
Відповідь
e = −1,65
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.