Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 20 % річних із капіталізацією піврічною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 20%m = 2

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €200 наприкінці кожного місяця протягом 19 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2004,8% / 12N = 228

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €200 000. Він приносить €21 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €21 000g = 1%r = 9%

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €28 500 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 7. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €28 500g = 3%n = 7r = 10%

NPV = €

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 8 років. Її дохідність до погашення змінюється з 3,5% до 4,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 4%n = 8y₁ = 3,5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 5% і погашається через 4 років. Дохідність до погашення 3,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 5%n = 4YTM = 3,5%

D = роки

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 5 000 000 акцій по €31,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 6,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 6,5%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 28, 45, 28, 55, 55.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 115.

μ = 100σ = 10x = 115

z =

11.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 9 осіб? Порядок не має значення.

n = 9k = 4

N =

12.ІмовірністьСкладна

Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 7p = 0,6

P =

13.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 480 і 560 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 480x₂ = 560

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 20%

x = балів

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 9 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 3,3 і стандартне відхилення 7,7. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 9d̄ = 3,3s_d = 7,799%t(8) = 3,355

нижня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 35. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 35E = 295%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 103,4 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,4s = 8n = 16

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 200,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 200,4σ = 4n = 10099%

L =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 52?

n = 6ŷ = 52

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 21 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,2/2 = 0,1

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,1)² − 1 = 1,21 − 1 = 21%

Відповідь

EAR = 21%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 74239 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·19 = 228

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2,485 − 1)/0,004 = €74 238,59

Відповідь

FV = €74 238,59

Самі ви внесли €45 600; решта — відсотки.

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 62500 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 21 000/(0,09 − 0,01) = 262 500,00

NPV

NPV = 262 500,00 − 200 000 = €62 500,00

Відповідь

NPV = €62 500,00

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −49813 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,03)/(1,1))⁷ = 0,6311

PV = 28 500/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,6311) = 150 186,96

NPV

NPV = 150 186,96 − 200 000 = −€49 813,04

Відповідь

NPV = −€49 813,04

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = −67,35 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €40,00, i = 0,035, N = 8

€40,00·(1 − 0,7594)/0,035 + €1 000·0,7594 = €274,96 + €759,41 = €1 034,37

Ціна за нової дохідності

C = €40,00, i = 0,045, N = 8

€40,00·(1 − 0,7032)/0,045 + €1 000·0,7032 = €263,84 + €703,19 = €967,02

Зміна

ΔP = 967,02 − 1 034,37 = −€67,35

Відповідь

ΔP = −€67,35

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 3,731 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 50/1,035 = 48,31, t·PV = 48,31

t = 2: 50/1,071 = 46,68, t·PV = 93,35

t = 3: 50/1,109 = 45,10, t·PV = 135,29

t = 4: 1050/1,148 = 915,01, t·PV = 3 660,06

Дюрація

P = 1 055,10

D = 3 937,01/1 055,10 = 3,731

Відповідь

D = 3,731 роки

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,593 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·8% + 0,25·3%·(1 − 0,21) = 6,593%

Відповідь

WACC = 6,593%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,795 %

Ринкові вартості

E = 5 000 000·€31,50 = €157 500 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·4% = 6,9%

Ваги

V = €162 300 000, E/V = 0,9704, D/V = 0,02957

WACC

WACC = 0,9704·6,9% + 0,02957·4,5%·(1 − 0,258) = 6,795%

Відповідь

WACC = 6,795%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 13,59

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 211/5 = 42,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−14,2)² + 2,8² + (−14,2)² + 12,8² + 12,8² = 738,8

Стандартне відхилення

s = √(738,8/4) = 13,59

Відповідь

s = 13,59

10.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Стандартизуйте

z = (115 − 100)/10 = 1,5

Відповідь

z = 1,5

11.Імовірність

Відповідь: N = 126

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

Відповідь

N = 126

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,01884

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,4⁷ = 0,001638

P(X = 1) = 7·0,6·0,4⁶ = 0,0172

Додайте

P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884

Відповідь

P = 0,01884

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6247

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5

z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5

Площа між

P = Φ(1,5) − Φ(−0,5) = 0,9332 − 0,3085 = 0,6247

Відповідь

P = 0,6247

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 87,38 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 балів

Відповідь

x = 87,38 балів

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −5,311 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 8, t = 3,355

Похибка оцінки

E = 3,355·7,7/√9 = 8,611

Інтервал

3,3 ± 8,611 → [−5,311, 11,91]

Відповідь

нижня межа = −5,311 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1177

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·35/2)² = 1176

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 1177

Відповідь

n = 1177

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Статистика критерію

t = (103,4 − 100)/2 = 1,7

Відповідь

t = 1,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 199,4

Похибка оцінки

E = 2,576·4/√100 = 1,03

Межа інтервалу

L = 200,4 − 1,03 = 199,4

Відповідь

L = 199,4

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9945

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 350/5 = 70

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1314

Коефіцієнт кореляції

r = 228/√(40·1314) = 0,9945

Відповідь

r = 0,9945

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,72

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 308/6 = 51,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53

Лінія регресії

b = 53/17,5 = 3,029

a = 51,33 − 3,029·4,5 = 37,7

ŷ = 37,7 + 3,029·x

Розв’яжіть щодо x

x = (52 − 37,7)/3,029 = 4,72

Відповідь

x = 4,72

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income