Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 8 років вам потрібно €5 000. Рахунок дає 4,8 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €5 0004,8% / 12n = 8

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 25 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 7 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 25? Знайдіть FV.

A = €6 000i = 7%n = 25

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €10 000, €21 000, €13 000, €13 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 10 000CF₂ = 21 000CF₃ = 13 000CF₄ = 13 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €50 000. Його грошовий потік становить €7 500 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 6. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €7 500g = 5%n = 6r = 12%

NPV = €

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 5%YTM = 6%n = 9

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 4 років і продається за €950. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 8%n = 4P = €950

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.

E = €5 000 000D = €1 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 4 000 000 акцій по €42,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.

β = 1,2r_f = 2,5%r_m = 8%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 55, 60, 27, 14, 31.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 75.

μ = 60σ = 10x = 75

z =

11.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.

n = 12k = 2

N =

12.ІмовірністьСкладна

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,3. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,3

P =

13.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 468 і 560 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 560

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

15.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 11 елементів має середнє 23,5 і стандартне відхилення s = 8,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 11x̄ = 23,5s = 8,590%t(10) = 1,812

верхня межа =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 37. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 37E = 2,590%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 7 студентів, середній бал 87,5, стандартне відхилення 9,5. Група 2: 10 студентів, середній бал 76,7, стандартне відхилення 7. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 7x̄₁ = 87,5s₁ = 9,5n₂ = 10x̄₂ = 76,7s₂ = 7

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 399%

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 48Σy = 284Σx² = 454Σy² = 14116Σxy = 2486

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 27). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 27)

e =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 3408 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·8 = 96

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,467 = €3 408,27

Відповідь

PV = €3 408,27

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 406059 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,07)²⁵ − 1)/0,07 = 63,25

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 6 000·63,25·1,07 = €406 058,82

Відповідь

FV = €406 058,82

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 5496 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 10 000/1,05 = 9 523,81

CF₂/(1 + 0,05)² = 21 000/1,103 = 19 047,62

CF₃/(1 + 0,05)³ = 13 000/1,158 = 11 229,89

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 13 000/1,216 = 10 695,13

Додайте

NPV = €5 496,45

Відповідь

NPV = €5 496,45

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −15600 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,05)/(1,12))⁶ = 0,6789

PV = 7 500/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,6789) = 34 399,91

NPV

NPV = 34 399,91 − 50 000 = −€15 600,09

Відповідь

NPV = −€15 600,09

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 931,2 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €25,00, i = 0,03, N = 18

Теперішня вартість купонів

€25,00·(1 − 0,5874)/0,03 = €343,84

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,5874 = €587,39

Ціна

P = €931,23

Відповідь

P = €931,23

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 9,562 %

Рівняння для дохідності

€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Чисельний розв’язок

P(9%) = €967,60, P(10%) = €936,60

YTM = 9,562%

Відповідь

YTM = 9,562%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,366 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·9% + 0,1667·7%·(1 − 0,258) = 8,366%

Відповідь

WACC = 8,366%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,653 %

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€42,00 = €168 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,2·5,5% = 9,1%

Ваги

V = €188 000 000, E/V = 0,8936, D/V = 0,1064

WACC

WACC = 0,8936·9,1% + 0,1064·7%·(1 − 0,3) = 8,653%

Відповідь

WACC = 8,653%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 18,05

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 236/6 = 39,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 9,667² + 15,67² + 20,67² + (−12,33)² + (−25,33)² + (−8,333)² = 1629

Стандартне відхилення

s = √(1629/5) = 18,05

Відповідь

s = 18,05

10.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Стандартизуйте

z = (75 − 60)/10 = 1,5

Відповідь

z = 1,5

11.Імовірність

Відповідь: N = 66

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Відповідь

N = 66

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,113

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,7¹¹ = 0,01977

P(X = 1) = 11·0,3·0,7¹⁰ = 0,09322

Додайте

P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113

Відповідь

P = 0,113

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7213

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8

z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5

Площа між

P = Φ(1,5) − Φ(−0,8) = 0,9332 − 0,2119 = 0,7213

Відповідь

P = 0,7213

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 37,05 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Назад до x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Відповідь

x = 37,05 min

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 28,14

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Похибка оцінки

E = 1,812·8,5/√11 = 4,644

Інтервал

23,5 ± 4,644 → [18,86, 28,14]

Відповідь

верхня межа = 28,14

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 593

Виразіть n

n = (1,645·37/2,5)² = 592,7

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 593

Відповідь

n = 593

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,708

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (6·9,5² + 9·7²)/15 = 65,5

s_p = 8,093

Стандартна похибка

SE = 8,093·√(1/7 + 1/10) = 3,988

Статистика критерію

t = (87,5 − 76,7)/3,988 = 2,708

Відповідь

t = 2,708

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 12

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·4/3)² = 11,8

Округліть угору

n = 12

Відповідь

n = 12

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9857

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 2486 − 48·284/6 = 214

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 14116 − 284²/6 = 673,3

Коефіцієнт кореляції

r = 214/√(70·673,3) = 0,9857

Відповідь

r = 0,9857

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 1,981

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41

Лінія регресії

b = −41/17,5 = −2,343

a = 20,33 − (−2,343)·3,5 = 28,53

ŷ = 28,53 − 2,343·x

Прогнозоване значення

ŷ = 28,53 + (−2,343)·1,5 = 25,02

Залишок

e = 27 − 25,02 = 1,981

Відповідь

e = 1,981

Точка лежить вище прямої.

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income