Через 3 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €40 0006% / 12n = 3
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 10 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €507,2% / 12N = 120
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €33 000, €24 000, €37 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €18 500, €9 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 9 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 14 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 093, коли дохідність до погашення становить 6%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 14P = €1 093YTM = 6%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 5,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 6%n = 6YTM = 5,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 5 000 000 акцій по €47,00 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 5,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень більша за 560?
μ = 500σ = 100x = 560
P =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 4 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
4 / 7
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €10 з імовірністю 0,25 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€10: p = 0,25€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 164,35 і 188,5 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 164,35x2 = 188,5
P =
14.Нормальний розподілСкладна
результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 15% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 100 балівσ = 15 балів15%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 30 елементів має середнє 76 і стандартне відхилення s = 11. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 30x̄ = 76s = 1195%t(29) = 2,045
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 20 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 7,8 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 19 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 8,907 і 2,5 % — вище від 32,852.
n = 20s = 7,8 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
6 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −2,47, стандартне відхилення різниць 5,5. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = −2,47sd = 5,5
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 6. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.
n = 5x = 7
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 33426 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,197 = €33 425,80
Відповідь
PV = €33 425,80
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 8750 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 33 000/1,06 = 31 132,08
CF2/(1 + 0,06)2 = 24 000/1,124 = 21 359,91
CF3/(1 + 0,06)3 = 37 000/1,191 = 31 065,91
Додайте
NPV = €8 557,90
Відповідь
NPV = €8 557,90
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 8,896 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(5%) = 1 235,83
NPV(10%) = −330,58
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,06)−14 = €442,30
Купон
C = (1093 − 442,30)/9,295 = €70,01
Купонна ставка
c = 70,01/1000 = 7,001%
Відповідь
c = 7,001%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 5,223 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 60/1,055 = 56,87, t·PV = 56,87
t = 2: 60/1,113 = 53,91, t·PV = 107,81
t = 3: 60/1,174 = 51,10, t·PV = 153,29
t = 4: 60/1,239 = 48,43, t·PV = 193,73
t = 5: 60/1,307 = 45,91, t·PV = 229,54
t = 6: 1060/1,379 = 768,76, t·PV = 4 612,56
Дюрація
P = 1 024,98
D = 5 353,81/1 024,98 = 5,223
Відповідь
D = 5,223 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,656 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·8% + 0,25·3,5%·(1 − 0,25) = 6,656%
Відповідь
WACC = 6,656%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 4,945 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Відповідь
P = 0,2743
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,1091
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091
Відповідь
P = 0,1091
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −1,5 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 5 (p = 0,25), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,74)
Математичне сподівання
E(G) = 5·0,25 + 95·0,01 − 5·0,74 = −1,5 €
Відповідь
E(G) = −1,5 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9076
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95
z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5
Площа між
P = Φ(1,5) − Φ(−1,95) = 0,9332 − 0,02559 = 0,9076
Відповідь
P = 0,9076
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 115,6 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,85
z з таблиці
z ≈ 1,04
Назад до початкових одиниць
x = 100 + 1,04·15 = 115,6 балів
Відповідь
x = 115,6 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 71,89
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Похибка оцінки
E = 2,045·11/√30 = 4,107
Інтервал
76 ± 4,107 → [71,89, 80,11]
Відповідь
нижня межа = 71,89
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 11,39 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 19·7,8² = 1156
Межі для σ²
1156/32,852 = 35,19
1156/8,907 = 129,8
Межа для σ
σ = √129,8 = 11,39 µm
Відповідь
σ = 11,39 µm
95 % інтервал для σ: [5,932, 11,39] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 5,5/√6 = 2,245
Статистика критерію
t = −2,47/2,245 = −1,1
Відповідь
t = −1,1
При df = 5 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,571; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 91
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,645)·6/2,5)² = 90,83
Округліть угору
n = 91
Відповідь
n = 91
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9303
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 2099 − 27·447/6 = 87,5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 33807 − 447²/6 = 505,5
Коефіцієнт кореляції
r = 87,5/√(17,5·505,5) = 0,9303
Відповідь
r = 0,9303
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 19,65
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 85/5 = 17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Лінія регресії
b = 106/40 = 2,65
a = 17 − 2,65·6 = 1,1
ŷ = 1,1 + 2,65·x
Прогноз
ŷ = 1,1 + 2,65·7 = 19,65
Відповідь
ŷ = 19,65
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.