Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 8 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €10 0006% / 4n = 8

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €25 000 через 9 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €25 0003,6% / 12N = 108

A = €

3.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €50 000. Він приносить €18 500 наприкінці кожного року протягом 3 років, а потім його можна продати за €10 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €50 000CF = €18 500S = €10 000n = 3r = 12%

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €20 000, €23 000, €23 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 20 000CF₂ = 23 000CF₃ = 23 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 2,5%n = 9

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 9 років і продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 6%n = 9P = €935

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,4. Вартість власного капіталу 8%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC.

D/E = 0,4r_e = 8%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 4 000 000 акцій по €10,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.

β = 0,9r_f = 2,5%r_m = 7%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 16, 13, 21, 26, 44.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень менша за 460?

μ = 500σ = 50x = 460

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €9 з імовірністю 0,2 і €30 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€9: p = 0,2€30: p = 0,02

E(G) = €

13.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 246,25 і 259 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 246,25x₂ = 259

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

15.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 3,6. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 324 спостережень?

99%n₁ = 36E₁ = 3,6n₂ = 324

E₂ =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 23. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 23E = 199%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 204,2 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204,2s = 10n = 25

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 12. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 12E = 295%

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 6210 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·8 = 32

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,61 = €6 209,93

Відповідь

PV = €6 209,93

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 196,3 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·9 = 108

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,003/(1,382 − 1) = €196,35

Відповідь

A = €196,35

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 1552 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

18 500·2,402 = 44 433,88

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

10 000/1,405 = 7 117,80

NPV

NPV = −50 000 + 44 433,88 + 7 117,80 = €1 551,68

Відповідь

NPV = €1 551,68

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 29,46 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(25%) = 2 752,00

NPV(30%) = −309,51

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 25 + 5·2 752,00/(2 752,00 − (−309,51)) = 29,49%

точно: NPV(29,46%) = 0 → IRR = 29,46%

Відповідь

IRR = 29,46%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1160 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €22,50, i = 0,0125, N = 18

Теперішня вартість купонів

€22,50·(1 − 0,7996)/0,0125 = €360,66

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,7996 = €799,63

Ціна

P = €1 160,30

Відповідь

P = €1 160,30

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 6,998 %

Рівняння для дохідності

€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Чисельний розв’язок

P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €934,85

YTM = 6,998%

Відповідь

YTM = 6,998%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,668 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги з D/E

E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143

D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·8% + 0,2857·4,5%·(1 − 0,258) = 6,668%

Відповідь

WACC = 6,668%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 5,288 %

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€10,50 = €42 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,9·4,5% = 6,55%

Ваги

V = €63 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·6,55% + 0,3333·3,5%·(1 − 0,21) = 5,288%

Відповідь

WACC = 5,288%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 12,23

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 120/5 = 24

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−8)² + (−11)² + (−3)² + 2² + 20² = 598

Стандартне відхилення

s = √(598/4) = 12,23

Відповідь

s = 12,23

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Відповідь

P = 0,2119

11.Імовірність

Відповідь: σ = 1,03

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,8

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,3

Дисперсія

Var(X) = 4,3 − 1,8² = 1,06

σ = √1,06 = 1,03

Відповідь

σ = 1,03

12.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,6 €

Чисті результати

G: 6 (p = 0,2), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,78)

Математичне сподівання

E(G) = 6·0,2 + 27·0,02 − 3·0,78 = −0,6 €

Відповідь

E(G) = −0,6 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7374

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75

z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−0,75) = 0,9641 − 0,2266 = 0,7374

Відповідь

P = 0,7374

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 527 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Відповідь

x = 526,98 h

15.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 1,2

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(36/324) = 0,3333

Нова похибка

E₂ = 3,6·0,3333 = 1,2

Відповідь

E₂ = 1,2

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 3511

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·23/1)² = 3510

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 3511

Відповідь

n = 3511

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Статистика критерію

t = (204,2 − 200)/2 = 2,1

Відповідь

t = 2,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 139

Виразіть n

n = (1,96·12/2)² = 138,3

Округліть угору

n = 139

Відповідь

n = 139

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9845

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 238/6 = 39,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 377,3

Коефіцієнт кореляції

r = 160/√(70·377,3) = 0,9845

Відповідь

r = 0,9845

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 7,9

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 74/5 = 14,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

Лінія регресії

b = 92/40 = 2,3

a = 14,8 − 2,3·6 = 1

ŷ = 1 + 2,3·x

Прогноз

ŷ = 1 + 2,3·3 = 7,9

Відповідь

ŷ = 7,9

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income