Ануїтет виплачує €500 наприкінці кожного року протягом 10 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €500i = 6%n = 10
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €20 000 через 17 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €20 0005,4% / 12N = 204
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €10 000 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 12 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €13 500, €18 000, €18 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 13 500CF2 = 18 000CF3 = 18 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 5,5%n = 7
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 3 років. Дохідність до погашення 2,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 7%n = 3YTM = 2,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €8 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €57,00 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 10,5%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 173.
μ = 170σ = 5x = 173
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,35, 0,15
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 11p = 0,4
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 70,75 і 130 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 130
P =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 25% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 21 елементів має середнє 33,5 і стандартне відхилення s = 13,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 21x̄ = 33,5s = 13,590%t(20) = 1,725
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 17 kg, стандартне відхилення 1,5 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 24,5 kg, стандартне відхилення 1,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 36 студентів має середній бал 500,5 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 500,5s = 4n = 36
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ > 500 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 508,4. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 500μ = 508,4σ = 15n = 25α = 0,10
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 20?
n = 6ŷ = 20
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 3680 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5584)/0,06 = 7,36
Теперішня вартість
PV = 500·7,36 = €3 680,04
Відповідь
PV = €3 680,04
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 60,04 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 10 000/1,12 = 8 928,57 → Σ = 8 928,57
рік 2: 10 000/1,254 = 7 971,94 → Σ = 16 900,51
рік 3: 10 000/1,405 = 7 117,80 → Σ = 24 018,31
рік 4: 10 000/1,574 = 6 355,18 → Σ = 30 373,49
Частка останнього року
DPB = 3 + 5 981,69/6 355,18 = 3,941
Відповідь
DPB = 3,941 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 41,15 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(40%) = 386,30
NPV(45%) = −1 224,12
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,0275, N = 14
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,684)/0,0275 = €287,28
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,684 = €684,00
Ціна
P = €971,27
Відповідь
P = €971,27
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 2,82 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 70/1,025 = 68,29, t·PV = 68,29
t = 2: 70/1,051 = 66,63, t·PV = 133,25
t = 3: 1070/1,077 = 993,60, t·PV = 2 980,80
Дюрація
P = 1 128,52
D = 3 182,35/1 128,52 = 2,82
Відповідь
D = 2,82 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,833 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (173 − 170)/5 = 0,6
Відповідь
z = 0,6
11.Імовірність
Відповідь: σ = 2,124
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,3 + 2·0,2 + 4·0,35 + 6·0,15 = 2,7
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,2 + 16·0,35 + 36·0,15 = 11,8
Дисперсія
Var(X) = 11,8 − 2,7² = 4,51
σ = √4,51 = 2,124
Відповідь
σ = 2,124
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,03023
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,611 = 0,003628
P(X = 1) = 11·0,4·0,610 = 0,02661
Додайте
P = 0,003628 + 0,02661 = 0,03023
Відповідь
P = 0,03023
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9517
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95
z₂ = (130 − 100)/15 = 2
Площа між
P = Φ(2) − Φ(−1,95) = 0,9772 − 0,02559 = 0,9517
Відповідь
P = 0,9517
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 253,4 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,75
z з таблиці
z ≈ 0,67
Назад до початкових одиниць
x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g
Відповідь
x = 253,4 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 28,42
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Похибка оцінки
E = 1,725·13,5/√21 = 5,082
Інтервал
33,5 ± 5,082 → [28,42, 38,58]
Відповідь
нижня межа = 28,42
16.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −8,831 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (8·1,5² + 6·1,5²)/14 = 2,25
sp = 1,5
Похибка оцінки
E = 1,761·1,5·√(1/9 + 1/7) = 1,331
Інтервал
−7,5 ± 1,331 → [−8,831, −6,169]
Відповідь
нижня межа = −8,831 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,75
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Статистика критерію
t = (500,5 − 500)/0,6667 = 0,75
Відповідь
t = 0,75
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 6,451 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 500 + 1,282·3 = 503,8
z при справжньому середньому
z = (503,8 − 508,4)/3 = −1,518
Помилка другого роду
потужність = P(Z > −1,518) = 93,55%
β = 100% − 93,55% = 6,451%
Відповідь
β = 6,451%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9687
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 2773 − 36·421/6 = 247
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 30469 − 421²/6 = 928,8
Коефіцієнт кореляції
r = 247/√(70·928,8) = 0,9687
Відповідь
r = 0,9687
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 4,889
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 130/6 = 21,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Лінія регресії
b = −21/17,5 = −1,2
a = 21,67 − (−1,2)·3,5 = 25,87
ŷ = 25,87 − 1,2·x
Розв’яжіть щодо x
x = (20 − 25,87)/(−1,2) = 4,889
Відповідь
x = 4,889
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.