Ануїтет виплачує €1 500 наприкінці кожного року протягом 17 років. Процентна ставка 5 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €1 500i = 5%n = 17
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €10 000 під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €300. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €10 000A = €3003% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €28 000, €33 000, €23 000, €30 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €30 000 і приносить €17 000, €11 500, €6 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €35 000 і приносить €9 000, €13 500, €19 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 13 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 258, коли дохідність до погашення становить 3,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 13P = €1 258YTM = 3,5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 10 років і продається за €1 140. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 10P = €1 140
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
Компанія має 4 000 000 акцій, що торгуються за €37,50; балансова вартість її власного капіталу €60 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,50 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €90 000 000 і вартість до оподаткування 4,5%. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 154.
μ = 170σ = 20x = 154
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,1, 0,15
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 8p = 0,25k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 244 і 259,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 259,25
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 12 елементів має середнє 73 і стандартне відхилення s = 20. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 12x̄ = 73s = 2099%t(11) = 3,106
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,8 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,04?
p ≈ 0,8E = 0,0499%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 98,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 5 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 101 mm, відоме стандартне відхилення 12 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 24. Насправді середнє дорівнює 110,2. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 100μ = 110,2σ = 24n = 64α = 0,01
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 20Σy = 305Σx² = 90Σy² = 19247Σxy = 1299
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 147?
n = 6ŷ = 147
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 16911 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4363)/0,05 = 11,27
Теперішня вартість
PV = 1 500·11,27 = €16 911,10
Відповідь
PV = €16 911,10
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 35 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,0025/300 = 0,9167
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,9167)/ln(1,002) = 34,85
Округлення вгору до повних платежів
Після 34 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 35
Відповідь
N = 35 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 19527 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 28 000/1,08 = 25 925,93
CF2/(1 + 0,08)2 = 33 000/1,166 = 28 292,18
CF3/(1 + 0,08)3 = 23 000/1,26 = 18 258,14
CF4/(1 + 0,08)4 = 30 000/1,36 = 22 050,90
Додайте
NPV = €19 527,14
Відповідь
NPV = €19 527,14
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 4,974 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 000 − 17 000 = −8 000
ΔCF2 = 13 500 − 11 500 = 2 000
ΔCF3 = 19 000 − 6 500 = 12 500
IRR різниці
NPVΔ(4%) = 269,26
NPVΔ(5%) = −7,02
r* = 4,974%
Відповідь
r* = 4,974%
Перевірка: при 4,974% обидві NPV дорівнюють €2 249,58.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 6,004 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,035)−13 = €639,40
Купон
C = (1258 − 639,40)/10,3 = €60,04
Купонна ставка
c = 60,04/1000 = 6,004%
Відповідь
c = 6,004%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 1,483 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·11% + 0,375·3,5%·(1 − 0,21) = 7,912%
Відповідь
WACC = 7,912%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,315 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (154 − 170)/20 = −0,8
Відповідь
z = −0,8
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,828
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2
z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85
Площа між
P = Φ(1,85) − Φ(−1,2) = 0,9678 − 0,1151 = 0,8528
Відповідь
P = 0,8528
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 246,6 g
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Назад до x
x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g
Відповідь
x = 246,63 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 55,07
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Похибка оцінки
E = 3,106·20/√12 = 17,93
Інтервал
73 ± 17,93 → [55,07, 90,93]
Відповідь
нижня межа = 55,07
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 664
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 2,576²·0,8·0,2/0,04² = 663,6
Округліть угору
n = 664
Відповідь
n = 664
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,923
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(5²/100 + 12²/100) = √1,69 = 1,3
Статистика критерію
z = (98,5 − 101)/1,3 = −1,923
Відповідь
z = −1,923
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 85,86 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 100 + 2,326·3 = 107
z при справжньому середньому
z = (107 − 110,2)/3 = −1,074
Потужність
потужність = P(Z > −1,074) = 85,86%
1 − β = 85,86%
Відповідь
1 − β = 85,86%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,986
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1299 − 20·305/5 = 79
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 19247 − 305²/5 = 642
Коефіцієнт кореляції
r = 79/√(10·642) = 0,986
Відповідь
r = 0,986
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 26,99
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 730/6 = 121,7
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 444
Лінія регресії
b = 444/70 = 6,343
a = 121,7 − 6,343·23 = −24,22
ŷ = −24,22 + 6,343·x
Розв’яжіть щодо x
x = (147 − (−24,22))/6,343 = 26,99
Відповідь
x = 26,99
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.