Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €1 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 7 років.

PV = €1 0003% / 4n = 7

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 4? Знайдіть залишок боргу B.

P = €200 0004,8% / 12N = 360k = 48

B = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €24 000, €23 000, €28 000, €16 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 24 000CF₂ = 23 000CF₃ = 28 000CF₄ = 16 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €22 000, €28 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 22 000CF₂ = 28 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 2,5%n = 5

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 6 років і продається за €925. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 5%n = 6P = €925

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 8,86%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 21%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €5 000 000D = €1 000 000WACC = 8,86%r_d = 4%T = 21%

r_e = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 000 000 акцій по €21,00 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 1,5, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,5r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 18, 50, 34, 12, 12, 37.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 90?

μ = 60σ = 20x = 90

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,35, 0,25, 0,05

σ =

12.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,15, 0,35, 0,1Y = 3X + 4

σ_Y =

13.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 110,1 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 110,1 s

P =

14.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 75% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 9 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −4,3 і стандартне відхилення 3,2. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 9d̄ = −4,3s_d = 3,290%t(8) = 1,86

верхня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 16 ділянок, середній урожай 45 kg, стандартне відхилення 4 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 53,5 kg, стандартне відхилення 1 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 16x̄₁ = 45s₁ = 4n₂ = 5x̄₂ = 53,5s₂ = 190%t(19) = 1,729

верхня межа = kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 103,2 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,2s = 12n = 81

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 138 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 156 з 300 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 138n₁ = 250x₂ = 156n₂ = 300

z =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 141Σy = 821Σx² = 3471Σy² = 118003Σxy = 20234

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 1233 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·7 = 28

Майбутня вартість

FV = 1 000·(1 + 0,0075)²⁸ = 1 000·1,233 = €1 232,71

Відповідь

FV = €1 232,71

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 186835 €

Щомісячний платіж

i = 0,004, N = 360

A = 200 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻³⁶⁰) = €1 049,33

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 360 − 48 = 312

B = 1049·(1 − (1 + 0,004)⁻³¹²)/0,004 = €186 834,93

Відповідь

B = €186 834,93

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 12791 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 24 000/1,1 = 21 818,18

CF₂/(1 + 0,1)² = 23 000/1,21 = 19 008,26

CF₃/(1 + 0,1)³ = 28 000/1,331 = 21 036,81

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 16 000/1,464 = 10 928,22

Додайте

NPV = €12 791,48

Відповідь

NPV = €12 791,48

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 16,28 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 680,53

NPV(20%) = −1 875,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·680,53/(680,53 − (−1 875,00)) = 16,33%

точно: NPV(16,28%) = 0 → IRR = 16,28%

Відповідь

IRR = 16,28%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 976,6 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €10,00, i = 0,0125, N = 10

Теперішня вартість купонів

€10,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €93,46

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8832 = €883,18

Ціна

P = €976,64

Відповідь

P = €976,64

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 6,552 %

Рівняння для дохідності

€925 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Чисельний розв’язок

P(6%) = €950,83, P(7%) = €904,67

YTM = 6,552%

Відповідь

YTM = 6,552%

7.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 10 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

Частка боргу у WACC

0,1667·4%·(1 − 0,21) = 0,5267%

Вартість власного капіталу

r_e = (8,86% − 0,5267%)/0,8333 = 10%

Відповідь

r_e = 10%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,281 %

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€21,00 = €42 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 4% + 1,5·4,5% = 10,75%

Ваги

V = €82 800 000, E/V = 0,5072, D/V = 0,4928

WACC

WACC = 0,5072·10,75% + 0,4928·5%·(1 − 0,258) = 7,281%

Відповідь

WACC = 7,281%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 15,55

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 163/6 = 27,17

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−9,167)² + 22,83² + 6,833² + (−15,17)² + (−15,17)² + 9,833² = 1209

Стандартне відхилення

s = √(1209/5) = 15,55

Відповідь

s = 15,55

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

11.Імовірність

Відповідь: σ = 1,789

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 2·0,35 + 4·0,25 + 6·0,05 = 2

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,35 + 16·0,25 + 36·0,05 = 7,2

Дисперсія

Var(X) = 7,2 − 2² = 3,2

σ = √3,2 = 1,789

Відповідь

σ = 1,789

12.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 4,272

Розкид X

μ = 1,85, Var(X) = 2,028, σ_X = 1,424

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·1,424 = 4,272

Відповідь

σ_Y = 4,272

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·1,85 + 4 = 9,55.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,2119

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Відповідь

P = 0,2119

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 173,3 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Відповідь

x = 173,3 cm

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −2,316 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 8, t = 1,86

Похибка оцінки

E = 1,86·3,2/√9 = 1,984

Інтервал

−4,3 ± 1,984 → [−6,284, −2,316]

Відповідь

верхня межа = −2,316 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −5,325 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (15·4² + 4·1²)/19 = 12,84

s_p = 3,584

Похибка оцінки

E = 1,729·3,584·√(1/16 + 1/5) = 3,175

Інтервал

−8,5 ± 3,175 → [−11,67, −5,325]

Відповідь

верхня межа = −5,325 kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Статистика критерію

t = (103,2 − 100)/1,333 = 2,4

Відповідь

t = 2,4

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 0,7491

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 138/250 = 0,552

p̂₂ = 156/300 = 0,52

p̂ = 294/550 = 0,5345

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,5345·0,4655·(1/250 + 1/300)) = 0,04272

Статистика критерію

z = (0,552 − 0,52)/0,04272 = 0,7491

Відповідь

z = 0,7491

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9959

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 20234 − 141·821/6 = 940,5

S_xx = 3471 − 141²/6 = 157,5

S_yy = 118003 − 821²/6 = 5663

Коефіцієнт кореляції

r = 940,5/√(157,5·5663) = 0,9959

Відповідь

r = 0,9959

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 29,8

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 130/5 = 26

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Лінія регресії

b = 152/40 = 3,8

a = 26 − 3,8·6 = 3,2

ŷ = 3,2 + 3,8·x

Прогноз

ŷ = 3,2 + 3,8·7 = 29,8

Відповідь

ŷ = 29,8

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income