Ви інвестуєте €2 000 під 2 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 11 років.
PV = €2 000r = 2%t = 11
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 14? Знайдіть залишок боргу B.
P = €150 0005,4% / 12N = 240k = 168
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €27 000, €13 000, €27 000, €22 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €13 500, €8 500, €9 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 13 500CF2 = 8 500CF3 = 9 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 7% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 7%n = 6
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 10 років і продається за €870. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 10P = €870
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €12 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €52,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,5, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 92.
μ = 100σ = 8x = 92
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 3 червоних і 9 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
3 / 9
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 12p = 0,1
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них менша за 142,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 142.6 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 9 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −1 і стандартне відхилення 0,8. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 9d̄ = −1sd = 0,899%t(8) = 3,355
E = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 17,5 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 13 kg, стандартне відхилення 9 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 25 студентів має середній бал 118,2 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 5n = 25
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ > 200 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 18. Насправді середнє дорівнює 206,3. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 200μ = 206,3σ = 18n = 36α = 0,01
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 21Σy = 113Σx² = 91Σy² = 2177Σxy = 367
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 56?
n = 5ŷ = 56
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 2492 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,02·11 = 0,22
e0,22 = 1,246
Майбутня вартість
FV = 2 000·1,246 = €2 492,15
Відповідь
FV = €2 492,15
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 62818 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 240 − 168 = 72
B = 1023·(1 − (1 + 0,0045)−72)/0,0045 = €62 818,06
Відповідь
B = €62 818,06
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 17137 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 27 000/1,06 = 25 471,70
CF2/(1 + 0,06)2 = 13 000/1,124 = 11 569,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 27 000/1,191 = 22 669,72
CF4/(1 + 0,06)4 = 22 000/1,262 = 17 426,06
Додайте
NPV = €17 137,43
Відповідь
NPV = €17 137,43
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 28,99 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 1 104,00
NPV(30%) = −261,72
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,035, N = 12
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,6618)/0,035 = €289,90
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6618 = €661,78
Ціна
P = €951,68
Відповідь
P = €951,68
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 9,028 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€870 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Чисельний розв’язок
P(9%) = €871,65, P(10%) = €815,66
YTM = 9,028%
Відповідь
YTM = 9,028%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,753 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·9% + 0,2·3,5%·(1 − 0,21) = 7,753%
Відповідь
WACC = 7,753%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,29 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (92 − 100)/8 = −1
Відповідь
z = −1
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,04545
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545
Відповідь
P = 0,04545
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,659
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,912 = 0,2824
P(X = 1) = 12·0,1·0,911 = 0,3766
Додайте
P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659
Відповідь
P = 0,659
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,305
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg
Стандартизуйте
z = (142,6 − 144)/2,771 = −0,51
Імовірність
P = Φ(−0,51) = 0,305
Відповідь
P = 0,305
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9452
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Відповідь
P = 0,9452
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 0,8947 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 8, t = 3,355
Похибка оцінки
E = 3,355·0,8/√9 = 0,8947
Відповідь
E = 0,8947 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 11,48 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (8·3,5² + 6·9²)/14 = 41,71
sp = 6,459
Похибка оцінки
E = 2,145·6,459·√(1/9 + 1/7) = 6,982
Інтервал
4,5 ± 6,982 → [−2,482, 11,48]
Відповідь
верхня межа = 11,48 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,8
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
Статистика критерію
t = (118,2 − 120)/1 = −1,8
Відповідь
t = −1,8
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 41,06 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 200 + 2,326·3 = 207
z при справжньому середньому
z = (207 − 206,3)/3 = 0,226
Потужність
потужність = P(Z > 0,226) = 41,06%
1 − β = 41,06%
Відповідь
1 − β = 41,06%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9749
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 367 − 21·113/6 = −28,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2177 − 113²/6 = 48,83
Коефіцієнт кореляції
r = −28,5/√(17,5·48,83) = −0,9749
Відповідь
r = −0,9749
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 3,486
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 263/5 = 52,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70
Лінія регресії
b = 70/10 = 7
a = 52,6 − 7·3 = 31,6
ŷ = 31,6 + 7·x
Розв’яжіть щодо x
x = (56 − 31,6)/7 = 3,486
Відповідь
x = 3,486
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.