Через 9 років вам потрібно €25 000. Рахунок дає 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €25 0003,6% / 4n = 9
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €75 000 через 5 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €75 0004,8% / 12N = 60
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €20 000 і приносить €5 500 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €4 000, €3 000, €4 000 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 12 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 048, коли дохідність до погашення становить 3,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 12P = €1 048YTM = 3,5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 6 років і продається за €900. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 6P = €900
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €41,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 55?
μ = 50σ = 5x = 55
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.
n = 12k = 3
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €25 з імовірністю 0,25 і €50 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€25: p = 0,25€50: p = 0,05
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 762,3 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762,3 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 99%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 102,5 і стандартне відхилення s = 20. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 102,5s = 2090%t(8) = 1,86
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 9. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 9E = 0,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 47,9 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,9s = 15n = 100
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 10E = 299%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 40?
n = 5ŷ = 40
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 18107 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·9 = 36
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,381 = €18 107,48
Відповідь
PV = €18 107,48
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 1108 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 5 500/1,1 = 5 000,00 → Σ = 5 000,00
рік 2: 5 500/1,21 = 4 545,45 → Σ = 9 545,45
рік 3: 5 500/1,331 = 4 132,23 → Σ = 13 677,69
рік 4: 5 500/1,464 = 3 756,57 → Σ = 17 434,26
рік 5: 5 500/1,611 = 3 415,07 → Σ = 20 849,33
Частка останнього року
DPB = 4 + 2 565,74/3 415,07 = 4,751
Відповідь
DPB = 4,751 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,636 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 5,986 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
4 000·1,082 = 4 665,60
3 000·1,081 = 3 240,00
4 000·1,080 = 4 000,00
TV = 11 905,60
MIRR
MIRR = (11 905,60/10 000)1/3 − 1 = 5,986%
Відповідь
MIRR = 5,986%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 3,997 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,035)−12 = €661,78
Купон
C = (1048 − 661,78)/9,663 = €39,97
Купонна ставка
c = 39,97/1000 = 3,997%
Відповідь
c = 3,997%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,968 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€900 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(4%) = €947,58, P(5%) = €898,49
YTM = 4,968%
Відповідь
YTM = 4,968%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,902 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
11.Імовірність
Відповідь: N = 220
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220
Відповідь
N = 220
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 3,75 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 20 (p = 0,25), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,7)
Математичне сподівання
E(G) = 20·0,25 + 45·0,05 − 5·0,7 = 3,75 €
Відповідь
E(G) = 3,75 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,1056
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Стандартизуйте
z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
Відповідь
P = 0,1056
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 134,9 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Назад до x
x = 100 + 2,326·15 = 134,89 балів
Відповідь
x = 134,89 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 90,1
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Похибка оцінки
E = 1,86·20/√9 = 12,4
Інтервал
102,5 ± 12,4 → [90,1, 114,9]
Відповідь
нижня межа = 90,1
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 1245
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·9/0,5)² = 1245
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 1245
Відповідь
n = 1245
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Статистика критерію
t = (47,9 − 50)/1,5 = −1,4
Відповідь
t = −1,4
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 166
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (2,576·10/2)² = 165,9
Округліть угору
n = 166
Відповідь
n = 166
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9314
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 322/5 = 64,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
Syy = Σ(y − ȳ)² = 653,2
Коефіцієнт детермінації
r² = 156²/(40·653,2) = 0,9314
Відповідь
r² = 0,9314
Близько 93,14% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 3,465
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 233/5 = 46,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Лінія регресії
b = 43/10 = 4,3
a = 46,6 − 4,3·5 = 25,1
ŷ = 25,1 + 4,3·x
Розв’яжіть щодо x
x = (40 − 25,1)/4,3 = 3,465
Відповідь
x = 3,465
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.