Ануїтет виплачує €5 000 наприкінці кожного року протягом 7 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €5 000i = 6%n = 7
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €200 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 30 років. Ставка — 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €200 0007,2% / 12N = 360
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €6 000, €8 000, €7 000, €8 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €3 000, €3 500, €4 500 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 10 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 8%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 10 років і продається за €885. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 10P = €885
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €8 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
Компанія має 1 000 000 акцій, що торгуються за €50,00; балансова вартість її власного капіталу €20 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,90 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €15 000 000 і вартість до оподаткування 5%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 58.
μ = 70σ = 8x = 58
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,2, 0,25
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €12 з імовірністю 0,15 і €150 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €3€12: p = 0,15€150: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7540. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,7540
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 4,3 і стандартне відхилення 0,5. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 16d̄ = 4,3sd = 0,590%t(15) = 1,753
нижня межа = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 11 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 11,4 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 10 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 3,247 і 2,5 % — вище від 20,483.
n = 11s = 11,4 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 36 студентів має середній бал 500,9 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 500,9s = 8n = 36
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 4 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 16. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 39?
n = 6ŷ = 39
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 27912 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6651)/0,06 = 5,582
Теперішня вартість
PV = 5 000·5,582 = €27 911,91
Відповідь
PV = €27 911,91
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 1358 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·30 = 360
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,1161
A = 200 000·0,006/(1 − 0,1161) = €1 357,58
Відповідь
A = €1 357,58
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 443,2 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 6 000/1,15 = 5 217,39
CF2/(1 + 0,15)2 = 8 000/1,322 = 6 049,15
CF3/(1 + 0,15)3 = 7 000/1,521 = 4 602,61
CF4/(1 + 0,15)4 = 8 000/1,749 = 4 574,03
Додайте
NPV = €443,18
Відповідь
NPV = €443,18
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 6,207 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
3 000·1,12 = 3 630,00
3 500·1,11 = 3 850,00
4 500·1,10 = 4 500,00
TV = 11 980,00
MIRR
MIRR = (11 980,00/10 000)1/3 − 1 = 6,207%
Відповідь
MIRR = 6,207%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 683,5 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,04, N = 18
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,4936)/0,04 = €189,89
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,4936 = €493,63
Ціна
P = €683,52
Відповідь
P = €683,52
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 5,528 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€885 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Чисельний розв’язок
P(5%) = €922,78, P(6%) = €852,80
YTM = 5,528%
Відповідь
YTM = 5,528%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,519 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
WACC
WACC = 0,6154·13% + 0,3846·5%·(1 − 0,21) = 9,519%
Відповідь
WACC = 9,519%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,396 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (58 − 70)/8 = −1,5
Відповідь
z = −1,5
11.Імовірність
Відповідь: σ = 2,234
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,25 + 2·0,3 + 4·0,2 + 6·0,25 = 2,9
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,3 + 16·0,2 + 36·0,25 = 13,4
Дисперсія
Var(X) = 13,4 − 2,9² = 4,99
σ = √4,99 = 2,234
Відповідь
σ = 2,234
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 1,8 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 9 (p = 0,15), 147 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)
Математичне сподівання
E(G) = 9·0,15 + 147·0,02 − 3·0,83 = 1,8 €
Відповідь
E(G) = 1,8 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,16
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,7540)/2 = 0,8770
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,8770 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,16
Відповідь
z = 1,16
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 527 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Назад до x
x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h
Відповідь
x = 526,98 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 4,081 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 15, t = 1,753
Похибка оцінки
E = 1,753·0,5/√16 = 0,2191
Інтервал
4,3 ± 0,2191 → [4,081, 4,519]
Відповідь
нижня межа = 4,081 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 7,965 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 10·11,4² = 1300
Межі для σ²
1300/20,483 = 63,45
1300/3,247 = 400,2
Межа для σ
σ = √63,45 = 7,965 µm
Відповідь
σ = 7,965 µm
95 % інтервал для σ: [7,965, 20,01] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,675
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Статистика критерію
t = (500,9 − 500)/1,333 = 0,675
Відповідь
t = 0,675
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 209
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,282)·16/4)² = 208,3
Округліть угору
n = 209
Відповідь
n = 209
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9808
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 347/6 = 57,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 213
Syy = Σ(y − ȳ)² = 660,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 213²/(70·660,8) = 0,9808
Відповідь
r² = 0,9808
Близько 98,08% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 3,682
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.