Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 25 % річних із капіталізацією піврічною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 25%m = 2

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €5 000 під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €100. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €5 000A = €1003,6% / 12

N = платежів

3.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €17 000 наприкінці кожного року протягом 5 років. Вартість капіталу — 8 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 000CF₂ = 17 000CF₃ = 17 000CF₄ = 17 000CF₅ = 17 000

DPB = роки

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €13 500, €11 500, €11 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 13 500CF₂ = 11 500CF₃ = 11 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 11 років і виплачує річні купони. Вона продається за €850, коли дохідність до погашення становить 7%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 11P = €850YTM = 7%

c = %

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% двома піврічними платежами й погашається через 3 років. Вона продається за €1 014. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.

F = €1 000купон = 3% (2×)n = 3P = €1 014

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 1,25 має необхідну дохідність 11,13%. Безризикова ставка 3%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 1,25r_e = 11,13%r_f = 3%

r_m = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 1 000 000 акцій по €50,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 6,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 6,5%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 52, 53, 14, 25, 45, 45.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Яка частка P значень більша за 440?

μ = 500σ = 60x = 440

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,15, 0,35, 0,35

Var(X) =

12.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €8 з імовірністю 0,2 і €20 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€8: p = 0,2€20: p = 0,05

E(G) = €

13.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 242,25 і 260,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,25x₂ = 260,25

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

15.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 7 елементів має середнє 26,5 і стандартне відхилення s = 7. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 7x̄ = 26,5s = 790%t(6) = 1,943

верхня межа =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 33. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 33E = 590%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 122,3 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 122,3s = 8n = 100

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 25 вимірювань має середнє 202,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 202,1σ = 4n = 2595%

U =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 147Σy = 505Σx² = 3759Σy² = 44687Σxy = 12953

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (11, 45). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(11, 45)

e =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 26,56 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,25/2 = 0,125

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,125)² − 1 = 1,266 − 1 = 26,56%

Відповідь

EAR = 26,56%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 55 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,003/100 = 0,85

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,85)/ln(1,003) = 54,25

Округлення вгору до повних платежів

Після 54 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 55

Відповідь

N = 55 платежів

3.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 4,319 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 17 000/1,08 = 15 740,74 → Σ = 15 740,74

рік 2: 17 000/1,166 = 14 574,76 → Σ = 30 315,50

рік 3: 17 000/1,26 = 13 495,15 → Σ = 43 810,65

рік 4: 17 000/1,36 = 12 495,51 → Σ = 56 306,16

рік 5: 17 000/1,469 = 11 569,91 → Σ = 67 876,07

Частка останнього року

DPB = 4 + 3 693,84/11 569,91 = 4,319

Відповідь

DPB = 4,319 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,529 років).

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 22,34 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(20%) = 891,20

NPV(25%) = −952,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 20 + 5·891,20/(891,20 − (−952,00)) = 22,42%

точно: NPV(22,34%) = 0 → IRR = 22,34%

Відповідь

IRR = 22,34%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 5 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,07)⁻¹¹ = €475,09

Купон

C = (850 − 475,09)/7,499 = €50,00

Купонна ставка

c = 50/1000 = 5%

Відповідь

c = 5%

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 2,513 %

За період

C = €15,00, N = 6

Чисельний розв’язок

i = 1,256% за півроку

YTM

YTM = 2·1,256% = 2,513%

Відповідь

YTM = 2,513%

7.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 9,504 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (11,13% − 3%)/1,25 = 6,504%

Ринкова дохідність

r_m = 3% + 6,504% = 9,504%

Відповідь

r_m = 9,504%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,365 %

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€50,50 = €50 500 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·4% = 6,9%

Ваги

V = €70 900 000, E/V = 0,7123, D/V = 0,2877

WACC

WACC = 0,7123·6,9% + 0,2877·7%·(1 − 0,28) = 6,365%

Відповідь

WACC = 6,365%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 15,86

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 234/6 = 39

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 13² + 14² + (−25)² + (−14)² + 6² + 6² = 1258

Стандартне відхилення

s = √(1258/5) = 15,86

Відповідь

s = 15,86

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

11.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 109

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,15 + 20·0,15 + 30·0,35 + 40·0,35 = 29

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,15 + 900·0,35 + 1600·0,35 = 950

Дисперсія

Var(X) = 950 − 29² = 109

Відповідь

Var(X) = 109

12.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,6 €

Чисті результати

G: 6 (p = 0,2), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,75)

Математичне сподівання

E(G) = 6·0,2 + 18·0,05 − 2·0,75 = 0,6 €

Відповідь

E(G) = 0,6 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9192

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55

z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05

Площа між

P = Φ(2,05) − Φ(−1,55) = 0,9798 − 0,06057 = 0,9192

Відповідь

P = 0,9192

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 45,96 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Назад до x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Відповідь

x = 45,96 min

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 31,64

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Похибка оцінки

E = 1,943·7/√7 = 5,141

Інтервал

26,5 ± 5,141 → [21,36, 31,64]

Відповідь

верхня межа = 31,64

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 118

Виразіть n

n = (1,645·33/5)² = 117,9

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 118

Відповідь

n = 118

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,875

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Статистика критерію

t = (122,3 − 120)/0,8 = 2,875

Відповідь

t = 2,875

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 203,7

Похибка оцінки

E = 1,96·4/√25 = 1,568

Межа інтервалу

U = 202,1 + 1,568 = 203,7

Відповідь

U = 203,7

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,99

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 12953 − 147·505/6 = 580,5

S_xx = 3759 − 147²/6 = 157,5

S_yy = 44687 − 505²/6 = 2183

Коефіцієнт кореляції

r = 580,5/√(157,5·2183) = 0,99

Відповідь

r = 0,99

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,138

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 167/6 = 27,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 263

Лінія регресії

b = 263/70 = 3,757

a = 27,83 − 3,757·7 = 1,533

ŷ = 1,533 + 3,757·x

Прогнозоване значення

ŷ = 1,533 + 3,757·11 = 42,86

Залишок

e = 45 − 42,86 = 2,138

Відповідь

e = 2,138

Точка лежить вище прямої.

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income