Ви інвестуєте €20 000 під 4 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 19 років.
PV = €20 000r = 4%t = 19
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €50 000 через 6 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €50 0005,4% / 12N = 72
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €17 500 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 8 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €13 500, €8 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 13 500CF2 = 8 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% і погашається через 8 років. Її дохідність до погашення змінюється з 6% до 5,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 3%n = 8y1 = 6%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% двома піврічними платежами й погашається через 7 років. Вона продається за €1 314. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 8% (2×)n = 7P = €1 314
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
E = €6 000 000D = €5 000 000re = 8%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 000 000 акцій по €43,00 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Знайдіть z-оцінку z для результату 560.
μ = 500σ = 60x = 560
z =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 7
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €9 з імовірністю 0,3 і €60 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €3€9: p = 0,3€60: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 26,3 і 39,5 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 32σ = 6x1 = 26,3x2 = 39,5
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 125 h, відоме стандартне відхилення 9 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 124,5 h, відоме стандартне відхилення 12 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 52 kg, стандартне відхилення 8 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 45 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
8 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −2,55, стандартне відхилення різниць 2. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = −2,55sd = 2
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 25 вимірювань має середнє 75,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 75,7σ = 12n = 2595%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (6, 89). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(6, 89)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 42766 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,04·19 = 0,76
e0,76 = 2,138
Майбутня вартість
FV = 20 000·2,138 = €42 765,52
Відповідь
FV = €42 765,52
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 589,6 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 17 500/1,08 = 16 203,70 → Σ = 16 203,70
рік 2: 17 500/1,166 = 15 003,43 → Σ = 31 207,13
рік 3: 17 500/1,26 = 13 892,06 → Σ = 45 099,20
рік 4: 17 500/1,36 = 12 863,02 → Σ = 57 962,22
рік 5: 17 500/1,469 = 11 910,21 → Σ = 69 872,43
Частка останнього року
DPB = 4 + 2 037,78/11 910,21 = 4,171
Відповідь
DPB = 4,171 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,429 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 7,16 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(5%) = 566,89
NPV(10%) = −702,48
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 5 + 5·566,89/(566,89 − (−702,48)) = 7,233%
точно: NPV(7,16%) = 0 → IRR = 7,16%
Відповідь
IRR = 7,16%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 27,93 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, N = 14
Чисельний розв’язок
i = 1,497% за півроку
YTM
YTM = 2·1,497% = 2,994%
Відповідь
YTM = 2,994%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,75 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC
WACC = 0,5455·8% + 0,4545·7%·(1 − 0,25) = 6,75%
Відповідь
WACC = 6,75%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 4,267 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (560 − 500)/60 = 1
Відповідь
z = 1
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,7209
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Відповідь
P = 0,7209
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 0,3 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 6 (p = 0,3), 57 (p = 0,01), −3 (p = 0,69)
Математичне сподівання
E(G) = 6·0,3 + 57·0,01 − 3·0,69 = 0,3 €
Відповідь
E(G) = 0,3 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7233
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (26,3 − 32)/6 = −0,95
z₂ = (39,5 − 32)/6 = 1,25
Площа між
P = Φ(1,25) − Φ(−0,95) = 0,8944 − 0,1711 = 0,7233
Відповідь
P = 0,7233
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9099
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Відповідь
P = 0,9099
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 5,361 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 125 − 124,5 = 0,5
Стандартна похибка
SE = √(9²/60 + 12²/30) = 2,48
Похибка оцінки
E = 1,96·2,48 = 4,861
Інтервал
0,5 ± 4,861 → [−4,361, 5,361]
Відповідь
верхня межа = 5,361 h
Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 13,24 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (4·8² + 6·6,5²)/10 = 50,95
sp = 7,138
Похибка оцінки
E = 3,169·7,138·√(1/5 + 1/7) = 13,24
Відповідь
E = 13,24 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,606
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 2/√8 = 0,7071
Статистика критерію
t = −2,55/0,7071 = −3,606
Відповідь
t = −3,606
При df = 7 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,365; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 80,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·12/√25 = 4,704
Межа інтервалу
U = 75,7 + 4,704 = 80,4
Відповідь
U = 80,4
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9862
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 325/5 = 65
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1014
Коефіцієнт детермінації
r² = 200²/(40·1014) = 0,9862
Відповідь
r² = 0,9862
Близько 98,62% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −1,833
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 545/6 = 90,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 413
Лінія регресії
b = 413/70 = 5,9
a = 90,83 − 5,9·6 = 55,43
ŷ = 55,43 + 5,9·x
Прогнозоване значення
ŷ = 55,43 + 5,9·6 = 90,83
Залишок
e = 89 − 90,83 = −1,833
Відповідь
e = −1,833
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.