Через 6 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 3 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €10 0003% / 4n = 6
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €300 наприкінці кожного місяця протягом 20 років. Рахунок дає 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €3004,2% / 12N = 240
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €7 500, €8 000, €12 500, €9 000, €6 500, €10 000 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 8 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €3 000, €4 500, €4 500, €3 000 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 12 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Ви купуєте облігацію з 3 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 4%), коли її дохідність до погашення становить 8%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 8,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 3y0 = 8%y1 = 8,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 10 років і продається за €905. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 10P = €905
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €8 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €20,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 246 і 251 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 246x2 = 251
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 7 елементів має середнє 63,5 і стандартне відхилення s = 19,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 7x̄ = 63,5s = 19,595%t(6) = 2,447
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 23. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 23E = 199%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 студентів має середній бал 54,8 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 54,8s = 10n = 25
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 60 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 36 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 36n₂ = 100
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 21?
n = 5ŷ = 21
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 8358 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·6 = 24
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,196 = €8 358,31
Відповідь
PV = €8 358,31
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 112540 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 7 500/1,08 = 6 944,44 → Σ = 6 944,44
рік 2: 8 000/1,166 = 6 858,71 → Σ = 13 803,16
рік 3: 12 500/1,26 = 9 922,90 → Σ = 23 726,06
рік 4: 9 000/1,36 = 6 615,27 → Σ = 30 341,33
Частка останнього року
DPB = 3 + 6 273,94/6 615,27 = 3,948
Відповідь
DPB = 3,948 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,222 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 15,67 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
3 000·1,123 = 4 214,78
4 500·1,122 = 5 644,80
4 500·1,121 = 5 040,00
3 000·1,120 = 3 000,00
TV = 17 899,58
MIRR
MIRR = (17 899,58/10 000)1/4 − 1 = 15,67%
Відповідь
MIRR = 15,67%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 7,067 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Чисельний розв’язок
P(9%) = €935,82, P(10%) = €877,11
YTM = 9,514%
Відповідь
YTM = 9,514%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,482 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (155 − 170)/10 = −1,5
Відповідь
z = −1,5
11.Імовірність
Відповідь: σ = 2,124
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,2 + 6·0,15 = 2,3
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,2 + 36·0,15 = 9,8
Дисперсія
Var(X) = 9,8 − 2,3² = 4,51
σ = √4,51 = 2,124
Відповідь
σ = 2,124
12.Імовірність
Відповідь: σY = 8,944
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2, Var(X) = 0,8, σX = 0,8944
Лінійна зміна
σY = |10|·0,8944 = 8,944
Відповідь
σY = 8,944
Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·2 + 20 = 40.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,3674
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8
z₂ = (251 − 250)/5 = 0,2
Площа між
P = Φ(0,2) − Φ(−0,8) = 0,5793 − 0,2119 = 0,3674
Відповідь
P = 0,3674
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7881
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Стандартизуйте
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Відповідь
P = 0,7881
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 45,46
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Похибка оцінки
E = 2,447·19,5/√7 = 18,04
Інтервал
63,5 ± 18,04 → [45,46, 81,54]
Відповідь
нижня межа = 45,46
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 3511
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·23/1)² = 3510
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 3511
Відповідь
n = 3511
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
Статистика критерію
t = (54,8 − 50)/2 = 2,4
Відповідь
t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,085
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 60/120 = 0,5
p̂₂ = 36/100 = 0,36
p̂ = 96/220 = 0,4364
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,4364·0,5636·(1/120 + 1/100)) = 0,06715
Статистика критерію
z = (0,5 − 0,36)/0,06715 = 2,085
Відповідь
z = 2,085
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,5161
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 250/5 = 50
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 17
Syy = Σ(y − ȳ)² = 56
Коефіцієнт детермінації
r² = 17²/(10·56) = 0,5161
Відповідь
r² = 0,5161
Близько 51,61% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 6,889
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 91/5 = 18,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Лінія регресії
b = 126/40 = 3,15
a = 18,2 − 3,15·6 = −0,7
ŷ = −0,7 + 3,15·x
Розв’яжіть щодо x
x = (21 − (−0,7))/3,15 = 6,889
Відповідь
x = 6,889
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.