Через 5 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 4 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €10 0004% / 12n = 5
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €30 000 через 13 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €30 0004,8% / 12N = 156
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €100 000. Він приносить €35 500 наприкінці кожного року протягом 3 років, а потім його можна продати за €20 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF = €35 500S = €20 000n = 3r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €10 000 і приносить €4 500, €5 500, €5 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 5 500CF3 = 5 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 5 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 3%), коли її дохідність до погашення становить 7%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 7,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 5y0 = 7%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €1 090 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 5,1 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 150 базисних пунктів.
P0 = €1 090y = 7%D = 5,1Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €8 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Її WACC 7,85%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 30%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Ставка податку 21%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 54.
μ = 70σ = 8x = 54
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 10 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 10p = 0,2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9774. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9774
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 20%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 113,5 h, відоме стандартне відхилення 16 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 113 h, відоме стандартне відхилення 17 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 13. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 13E = 1,599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 49 студентів має середній бал 101,7 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101,7s = 4n = 49
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 10. Насправді середнє дорівнює 497.2. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 500μ = 497,2σ = 10n = 25α = 0,05
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 8190 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·5 = 60
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,221 = €8 190,03
Відповідь
PV = €8 190,03
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 138,9 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
35 500·2,402 = 85 265,01
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
20 000/1,405 = 14 235,60
NPV
NPV = −100 000 + 85 265,01 + 14 235,60 = −€499,39
Відповідь
NPV = −€499,39
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 22,88 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 462,96
NPV(25%) = −320,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 20 + 5·462,96/(462,96 − (−320,00)) = 22,96%
точно: NPV(22,88%) = 0 → IRR = 22,88%
Відповідь
IRR = 22,88%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 5,178 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 5,1/1,07 = 4,766
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −4,766·(0,015) = −7,15%
P ≈ 1090·(1 − 0,0715) = €1 012,07
Відповідь
P = €1 012,07
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 11,01 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
Частка боргу у WACC
0,3846·4%·(1 − 0,3) = 1,077%
Вартість власного капіталу
re = (7,85% − 1,077%)/0,6154 = 11,01%
Відповідь
re = 11,01%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,487 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1·(1 + 0,79·0,25) = 1,198
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 1,198·5% = 7,487%
Відповідь
re = 7,487%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 14,63
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (54 − 70)/8 = −2
Відповідь
z = −2
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,161
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,25 = 2,45
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,25 = 7,35
Дисперсія
Var(X) = 7,35 − 2,45² = 1,347
σ = √1,347 = 1,161
Відповідь
σ = 1,161
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,3758
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,810 = 0,1074
P(X = 1) = 10·0,2·0,89 = 0,2684
Додайте
P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758
Відповідь
P = 0,3758
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 2,28
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,9774)/2 = 0,9887
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9887 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 2,28
Відповідь
z = 2,28
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 87,38 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Назад до x
x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 балів
Відповідь
x = 87,38 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 7,764 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 113,5 − 113 = 0,5
Стандартна похибка
SE = √(16²/60 + 17²/60) = 3,014
Похибка оцінки
E = 2,576·3,014 = 7,764
Відповідь
E = 7,764 h
Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 499
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·13/1,5)² = 498,4
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 499
Відповідь
n = 499
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,975
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Статистика критерію
t = (101,7 − 100)/0,5714 = 2,975
Відповідь
t = 2,975
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 40,32 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 500 − 1,645·2 = 496,7
z при справжньому середньому
z = (496,7 − 497,2)/2 = −0,245
Потужність
потужність = P(Z < −0.245) = 40.32%
1 − β = 40,32%
Відповідь
1 − β = 40,32%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9557
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 60/5 = 12
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58
Syy = Σ(y − ȳ)² = 88
Коефіцієнт детермінації
r² = 58²/(40·88) = 0,9557
Відповідь
r² = 0,9557
Близько 95,57% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 65,15
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 343/5 = 68,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69
Лінія регресії
b = 69/10 = 6,9
a = 68,6 − 6,9·4 = 41
ŷ = 41 + 6,9·x
Прогноз
ŷ = 41 + 6,9·3,5 = 65,15
Відповідь
ŷ = 65,15
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.