Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €10 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 5,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €10 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €250 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €250 0004,8% / 12N = 300
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €30 000, €27 000, €19 000, €24 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €31 500 наприкінці року 1 і зростає на 2 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 7. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €31 500g = 2%n = 7r = 8%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 11 років і виплачує річні купони. Вона продається за €685, коли дохідність до погашення становить 6%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 11P = €685YTM = 6%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% двома піврічними платежами й погашається через 7 років. Вона продається за €943. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 4,5% (2×)n = 7P = €943
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €15 000 000 і вартістю власного капіталу 10%. Її борг складається з 8 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 5%, 7 років до погашення), кожна з яких торгується за €972. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 120.
μ = 100σ = 10x = 120
z =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 8 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 8
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €2 з імовірністю 0,2 і €10 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€2: p = 0,2€10: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 167,5 і 185,35 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 167,5x2 = 185,35
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 5,3. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 450 спостережень?
99%n₁ = 50E₁ = 5,3n₂ = 450
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 18 ділянок, середній урожай 71 kg, стандартне відхилення 8 kg. Група ділянок 2: 8 ділянок, середнє 77 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 50,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 12 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 56 mm, відоме стандартне відхилення 19 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
У випробуванні одужують 88 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 28 з 120 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 28n₂ = 120
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 15Σy = 94Σx² = 55Σy² = 1842Σxy = 256
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 89?
n = 6ŷ = 89
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 250000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·25 = 300
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,3019
A = 250 000·0,004/(1 − 0,3019) = €1 432,49
Відповідь
A = €1 432,49
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 21922 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 30 000/1,09 = 27 522,94
CF2/(1 + 0,09)2 = 27 000/1,188 = 22 725,36
CF3/(1 + 0,09)3 = 19 000/1,295 = 14 671,49
CF4/(1 + 0,09)4 = 24 000/1,412 = 17 002,21
Додайте
NPV = €21 921,99
Відповідь
NPV = €21 921,99
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −26880 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 2,006 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,06)−11 = €526,79
Купон
C = (685 − 526,79)/7,887 = €20,06
Купонна ставка
c = 20,06/1000 = 2,006%
Відповідь
c = 2,006%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 5,492 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, N = 14
Чисельний розв’язок
i = 2,746% за півроку
YTM
YTM = 2·2,746% = 5,492%
Відповідь
YTM = 5,492%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,85 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·8% + 0,4·3,5%·(1 − 0,25) = 5,85%
Відповідь
WACC = 5,85%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,936 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (120 − 100)/10 = 2
Відповідь
z = 2
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,7674
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Відповідь
P = 0,7674
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −0,4 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 1 (p = 0,2), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)
Математичне сподівання
E(G) = 1·0,2 + 9·0,02 − 1·0,78 = −0,4 €
Відповідь
E(G) = −0,4 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7863
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5
z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05
Площа між
P = Φ(1,05) − Φ(−1,5) = 0,8531 − 0,06681 = 0,7863
Відповідь
P = 0,7863
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 183,9 cm
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Назад до x
x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm
Відповідь
x = 183,89 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 1,767
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(50/450) = 0,3333
Нова похибка
E₂ = 5,3·0,3333 = 1,767
Відповідь
E₂ = 1,767
16.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = −0,2874 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (17·8² + 7·7,5²)/24 = 61,74
sp = 7,857
Похибка оцінки
E = 1,711·7,857·√(1/18 + 1/8) = 5,713
Інтервал
−6 ± 5,713 → [−11,71, −0,2874]
Відповідь
верхня межа = −0,2874 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,802
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(12²/30 + 19²/80) = √9,312 = 3,052
Статистика критерію
z = (50,5 − 56)/3,052 = −1,802
Відповідь
z = −1,802
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,303
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 88/250 = 0,352
p̂₂ = 28/120 = 0,2333
p̂ = 116/370 = 0,3135
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,3135·0,6865·(1/250 + 1/120)) = 0,05152
Статистика критерію
z = (0,352 − 0,2333)/0,05152 = 2,303
Відповідь
z = 2,303
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9507
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 256 − 15·94/5 = −26
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1842 − 94²/5 = 74,8
Коефіцієнт кореляції
r = −26/√(10·74,8) = −0,9507
Відповідь
r = −0,9507
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 11,92
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 461/6 = 76,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 217
Лінія регресії
b = 217/70 = 3,1
a = 76,83 − 3,1·8 = 52,03
ŷ = 52,03 + 3,1·x
Розв’яжіть щодо x
x = (89 − 52,03)/3,1 = 11,92
Відповідь
x = 11,92
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.