Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €5 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 6,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €5 000g = 1,5%r = 6,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €300 наприкінці кожного місяця протягом 18 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €3002,4% / 12N = 216
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Він приносить €22 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 11 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €22 000g = 2%r = 11%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €12 000, €15 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 15 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 8 років. Дохідність до погашення — 7% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 7%n = 8
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% двома піврічними платежами й погашається через 6 років. Вона продається за €972. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 2% (2×)n = 6P = €972
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Її WACC 7,92%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 25%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Акції компанії мають бету 1,1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 20%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Яка частка P значень більша за 536?
μ = 500σ = 60x = 536
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,05, 0,3
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?
n = 7p = 0,4k = 5
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,3688. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,3688
z =
14.Нормальний розподілСкладна
результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 80% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 100 балівσ = 15 балів80%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 45 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 30,5 h, відоме стандартне відхилення 17 h. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 34. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 34E = 199%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 10. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 121,22. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ ≠ 120. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 120σ = 10n = 100x̄ = 121,22H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 16 вимірювань має середнє 119,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 119,7σ = 4n = 1695%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5, 12). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(5, 12)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 100000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 22 000/(0,11 − 0,02) = 244 444,44
NPV
NPV = 244 444,44 − 200 000 = €44 444,44
Відповідь
NPV = €44 444,44
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 6,316 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(5%) = 487,53
NPV(10%) = −1 280,99
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,035, N = 16
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,5767)/0,035 = €272,12
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5767 = €576,71
Ціна
P = €848,82
Відповідь
P = €848,82
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 2,506 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, N = 12
Чисельний розв’язок
i = 1,253% за півроку
YTM
YTM = 2·1,253% = 2,506%
Відповідь
YTM = 2,506%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 10,01 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Частка боргу у WACC
0,3333·5%·(1 − 0,25) = 1,25%
Вартість власного капіталу
re = (7,92% − 1,25%)/0,6667 = 10,01%
Відповідь
re = 10,01%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 12,58 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,1/(1 + 0,8·0,25) = 0,9167
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,9167·(1 + 0,8·1,5) = 2,017
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 2,017·4,5% = 12,58%
Відповідь
re = 12,58%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 15,16
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Відповідь
P = 0,2743
11.Імовірність
Відповідь: σ = 11,95
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,3688)/2 = 0,6844
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,6844 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,48
Відповідь
z = 0,48
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 87,4 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,2
z з таблиці
z ≈ −0,84
Назад до початкових одиниць
x = 100 − 0,84·15 = 87,4 балів
Відповідь
x = 87,4 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 17,72 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 45 − 30,5 = 14,5
Стандартна похибка
SE = √(3²/40 + 17²/80) = 1,959
Похибка оцінки
E = 1,645·1,959 = 3,222
Інтервал
14,5 ± 3,222 → [11,28, 17,72]
Відповідь
верхня межа = 17,72 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 7671
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·34/1)² = 7671
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 7671
Відповідь
n = 7671
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,2225
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (121,22 − 120)/1 = 1,22
Площа хвоста
Φ(1,22) = 0,8888
1 − Φ(1,22) = 0,1112
p-значення
p = 2·0,1112 = 0,2225
Відповідь
p = 0,2225
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 121,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·4/√16 = 1,96
Межа інтервалу
U = 119,7 + 1,96 = 121,7
Відповідь
U = 121,7
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9931
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 16573 − 141·670/6 = 828
Sxx = 3471 − 141²/6 = 157,5
Syy = 79230 − 670²/6 = 4413
Коефіцієнт кореляції
r = 828/√(157,5·4413) = 0,9931
Відповідь
r = 0,9931
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −2,05
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 86/5 = 17,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Лінія регресії
b = 126/40 = 3,15
a = 17,2 − 3,15·6 = −1,7
ŷ = −1,7 + 3,15·x
Прогнозоване значення
ŷ = −1,7 + 3,15·5 = 14,05
Залишок
e = 12 − 14,05 = −2,05
Відповідь
e = −2,05
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.