Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 6 років.
PV = €2 0002% / 12n = 6
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €8 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €8 0003% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €41 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 11 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €500 000CF1 = €41 000g = 2%r = 11%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €20 000 і приносить €15 000, €8 500, €10 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 15 000CF2 = 8 500CF3 = 10 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 5,5%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 10 років і продається за €830. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 10P = €830
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,5. Вартість власного капіталу 11%, вартість боргу до оподаткування 7%, а ставка податку 28%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,5re = 11%rd = 7%T = 28%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Акції компанії мають бету 1,3 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,25. Ставка податку 25%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 50.
μ = 60σ = 5x = 50
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 6 червоних і 5 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
6 / 5
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 12p = 0,1k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 85 і 118 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 100σ = 15x1 = 85x2 = 118
P =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 15% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів15%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 60 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 75 h, відоме стандартне відхилення 10 h. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 23. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 23E = 2,590%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 493,8 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 493,8s = 20n = 100
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 5. Насправді середнє дорівнює 76.5. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 80μ = 76,5σ = 5n = 25α = 0,05
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 22.
n = 5x = 22
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 2255 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 8 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €177,07
Відповідь
A = €177,07
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −44444 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 41 000/(0,11 − 0,02) = 455 555,56
NPV
NPV = 455 555,56 − 500 000 = −€44 444,44
Відповідь
NPV = −€44 444,44
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 34,34 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 1 119,71
NPV(35%) = −160,54
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,0275, N = 18
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,6137)/0,0275 = €210,73
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6137 = €613,66
Ціна
P = €824,39
Відповідь
P = €824,39
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,474 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€830 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Чисельний розв’язок
P(7%) = €859,53, P(8%) = €798,70
YTM = 7,474%
Відповідь
YTM = 7,474%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,013 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·11% + 0,3333·7%·(1 − 0,28) = 9,013%
Відповідь
WACC = 9,013%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 13,19 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,3/(1 + 0,75·0,4) = 1
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1·(1 + 0,75·1,25) = 1,938
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 1,938·5% = 13,19%
Відповідь
re = 13,19%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 16,04
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (50 − 60)/5 = −2
Відповідь
z = −2
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2727
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727
Відповідь
P = 0,2727
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,2301
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (85 − 100)/15 = −1
z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2
Площа між
P = Φ(1,2) − Φ(−1) = 0,8849 − 0,1587 = 0,7263
Відповідь
P = 0,7263
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 75,4 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,85
z з таблиці
z ≈ 1,04
Назад до початкових одиниць
x = 65 + 1,04·10 = 75,4 балів
Відповідь
x = 75,4 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −20,22 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 60 − 75 = −15
Стандартна похибка
SE = √(15²/60 + 10²/30) = 2,661
Похибка оцінки
E = 1,96·2,661 = 5,216
Інтервал
−15 ± 5,216 → [−20,22, −9,784]
Відповідь
нижня межа = −20,22 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 230
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·23/2,5)² = 229
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 230
Відповідь
n = 230
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,1
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
Статистика критерію
t = (493,8 − 500)/2 = −3,1
Відповідь
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 96,82 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 80 − 1,645·1 = 78,36
z при справжньому середньому
z = (78,36 − 76,5)/1 = 1,855
Потужність
потужність = P(Z < 1.855) = 96.82%
1 − β = 96,82%
Відповідь
1 − β = 96,82%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,8565
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 289/5 = 57,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40
Syy = Σ(y − ȳ)² = 186,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 40²/(10·186,8) = 0,8565
Відповідь
r² = 0,8565
Близько 85,65% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 112,2
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 534/5 = 106,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216
Лінія регресії
b = 216/40 = 5,4
a = 106,8 − 5,4·21 = −6,6
ŷ = −6,6 + 5,4·x
Прогноз
ŷ = −6,6 + 5,4·22 = 112,2
Відповідь
ŷ = 112,2
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.