Ви інвестуєте €20 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 5 років.
PV = €20 0005% / 4n = 5
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €2 000 на початку кожного року протягом 6 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 5 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 6? Знайдіть FV.
A = €2 000i = 5%n = 6
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €30 000, служить 6 років, а його експлуатація коштує €3 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €30 000M = €3 000n = 6r = 8%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €19 500, €29 000, €19 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 19 500CF2 = 29 000CF3 = 19 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 4%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% і погашається через 3 років. Дохідність до погашення 2,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 4,5%n = 3YTM = 2,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €12 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу 12%, вартість привілейованого капіталу 7,5%, вартість боргу до оподаткування 4%. Ставка податку 30%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1,1. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 1,5. Ставка податку 21%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 7%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 64.
μ = 70σ = 12x = 64
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 7 червоних і 8 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
7 / 8
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €40 з імовірністю 0,3 і €200 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€40: p = 0,3€200: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 178 і 188,5 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 178x2 = 188,5
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 13 елементів має середнє 109,5 і стандартне відхилення s = 14. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 13x̄ = 109,5s = 1490%t(12) = 1,782
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 11 ділянок, середній урожай 27,5 kg, стандартне відхилення 9 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 20,5 kg, стандартне відхилення 1,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 36 студентів має середній бал 197,2 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 197,2s = 12n = 36
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 64 вимірювань має середнє 121,3. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 121,3σ = 10n = 6490%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.
n = 6x = 7
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 25641 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,05)6 − 1)/0,05 = 6,802
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 2 000·6,802·1,05 = €14 284,02
Відповідь
FV = €14 284,02
3.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 9489 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,08−6)/0,08 = 4,623
Ціна придбання, перерахована на рік
30 000/4,623 = 6 489,46
EAC
EAC = 6 489,46 + 3 000 = €9 489,46
Відповідь
EAC = €9 489,46
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 31,42 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 807,92
NPV(35%) = −1 920,95
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,02, N = 10
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,8203)/0,02 = €224,56
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8203 = €820,35
Ціна
P = €1 044,91
Відповідь
P = €1 044,91
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 2,876 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 45/1,025 = 43,90, t·PV = 43,90
t = 2: 45/1,051 = 42,83, t·PV = 85,66
t = 3: 1045/1,077 = 970,39, t·PV = 2 911,16
Дюрація
P = 1 057,12
D = 3 040,72/1 057,12 = 2,876
Відповідь
D = 2,876 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,149 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1,1·(1 + 0,79·1,5) = 2,404
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 2,404·7% = 20,32%
Відповідь
re = 20,32%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 7,761
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (64 − 70)/12 = −0,5
Відповідь
z = −0,5
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0,2
Відповідь
P = 0,2
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 4 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 30 (p = 0,3), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,69)
Математичне сподівання
E(G) = 30·0,3 + 190·0,01 − 10·0,69 = 4 €
Відповідь
E(G) = 4 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,4332
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (178 − 178)/7 = 0
z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5
Площа між
P = Φ(1,5) − Φ(0) = 0,9332 − 0,5 = 0,4332
Відповідь
P = 0,4332
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 254,2 g
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Назад до x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Відповідь
x = 254,21 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 116,4
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Похибка оцінки
E = 1,782·14/√13 = 6,919
Інтервал
109,5 ± 6,919 → [102,6, 116,4]
Відповідь
верхня межа = 116,4
16.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −5,281 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (10·9² + 4·1,5²)/14 = 58,5
sp = 7,649
Похибка оцінки
E = 2,977·7,649·√(1/11 + 1/5) = 12,28
Інтервал
7 ± 12,28 → [−5,281, 19,28]
Відповідь
нижня межа = −5,281 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Статистика критерію
t = (197,2 − 200)/2 = −1,4
Відповідь
t = −1,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 123,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·10/√64 = 2,056
Межа інтервалу
U = 121,3 + 2,056 = 123,4
Відповідь
U = 123,4
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,6101
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 128/6 = 21,33
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 45,33
Коефіцієнт детермінації
r² = −22²/(17,5·45,33) = 0,6101
Відповідь
r² = 0,6101
Близько 61,01% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 76,67
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 460/6 = 76,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 400
Лінія регресії
b = 400/70 = 5,714
a = 76,67 − 5,714·7 = 36,67
ŷ = 36,67 + 5,714·x
Прогноз
ŷ = 36,67 + 5,714·7 = 76,67
Відповідь
ŷ = 76,67
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.