Кредитна картка нараховує номінальну ставку 25 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 25%m = 365
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €2 500 на початку кожного року протягом 6 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 7 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 6? Знайдіть FV.
A = €2 500i = 7%n = 6
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €12 000, €14 000, €11 000, €7 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €30 000 і приносить €17 000, €12 000, €5 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €32 000 і приносить €8 500, €12 500, €17 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 5%n = 11
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 6 років і продається за €885. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 6P = €885
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,9 має необхідну дохідність 6,6%. Безризикова ставка 3%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,9re = 6,6%rf = 3%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 500 000 акцій по €29,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 52?
μ = 70σ = 15x = 52
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,2, 0,2, 0,05
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?
n = 5p = 0,3k = 3
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 88,75 і 112 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 100σ = 15x1 = 88,75x2 = 112
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 121 h, відоме стандартне відхилення 20 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 114,5 h, відоме стандартне відхилення 8 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 20E = 1,599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 49 студентів має середній бал 47,94 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,94s = 8n = 49
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 101. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 101σ = 10n = 4999%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4, 62). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(4, 62)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 28,39 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,25/365 = 0,0006849
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0006849)365 − 1 = 1,284 − 1 = 28,39%
Відповідь
EAR = 28,39%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 19135 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,07)6 − 1)/0,07 = 7,153
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 2 500·7,153·1,07 = €19 135,05
Відповідь
FV = €19 135,05
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 7763 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 12 000/1,07 = 11 214,95
CF2/(1 + 0,07)2 = 14 000/1,145 = 12 228,14
CF3/(1 + 0,07)3 = 11 000/1,225 = 8 979,28
CF4/(1 + 0,07)4 = 7 000/1,311 = 5 340,27
Додайте
NPV = €7 762,64
Відповідь
NPV = €7 762,64
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 6,4 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −32 000 − (−30 000) = −2 000
ΔCF1 = 8 500 − 17 000 = −8 500
ΔCF2 = 12 500 − 12 000 = 500
ΔCF3 = 17 000 − 5 500 = 11 500
IRR різниці
NPVΔ(6%) = 81,75
NPVΔ(7%) = −119,78
r* = 6,4%
Відповідь
r* = 6,4%
Перевірка: при 6,4% обидві NPV дорівнюють €1 143,11.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1251 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, i = 0,025, N = 22
Теперішня вартість купонів
€40,00·(1 − 0,5809)/0,025 = €670,62
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5809 = €580,86
Ціна
P = €1 251,48
Відповідь
P = €1 251,48
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,446 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€885 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(7%) = €904,67, P(8%) = €861,31
YTM = 7,446%
Відповідь
YTM = 7,446%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 7 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (6,6% − 3%)/0,9 = 4%
Ринкова дохідність
rm = 3% + 4% = 7%
Відповідь
rm = 7%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,958 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Відповідь
P = 0,8849
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,161
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 3) = 10·0,33·0,72 = 10·0,027·0,49 = 0,1323
Відповідь
P = 0,1323
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,5615
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75
z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8
Площа між
P = Φ(0,8) − Φ(−0,75) = 0,7881 − 0,2266 = 0,5615
Відповідь
P = 0,5615
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8133
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Відповідь
P = 0,8133
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 6,618 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 121 − 114,5 = 6,5
Стандартна похибка
SE = √(20²/80 + 8²/40) = 2,569
Похибка оцінки
E = 2,576·2,569 = 6,618
Відповідь
E = 6,618 h
Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 1180
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·20/1,5)² = 1180
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 1180
Відповідь
n = 1180
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,803
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Статистика критерію
t = (47,94 − 50)/1,143 = −1,803
Відповідь
t = −1,803
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 104,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·10/√49 = 3,68
Межа інтервалу
U = 101 + 3,68 = 104,7
Відповідь
U = 104,7
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9873
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 501/6 = 83,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 409
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2452
Коефіцієнт кореляції
r = 409/√(70·2452) = 0,9873
Відповідь
r = 0,9873
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 3,15
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 343/5 = 68,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Лінія регресії
b = 130/40 = 3,25
a = 68,6 − 3,25·7 = 45,85
ŷ = 45,85 + 3,25·x
Прогнозоване значення
ŷ = 45,85 + 3,25·4 = 58,85
Залишок
e = 62 − 58,85 = 3,15
Відповідь
e = 3,15
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.