Ви інвестуєте €20 000 під 7 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 3 років.
PV = €20 000r = 7%t = 3
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?
P = €200 0003,6% / 12N = 360
I = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €30 000, служить 4 років, а його експлуатація коштує €2 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €30 000M = €2 000n = 4r = 10%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €20 000, €16 500, €21 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 20 000CF2 = 16 500CF3 = 21 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 14 років. Її дохідність до погашення змінюється з 7% до 6%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 2%n = 14y1 = 7%y2 = 6%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €1 035 з дохідністю до погашення 6% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 3,3 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 50 базисних пунктів.
P0 = €1 035y = 6%D = 3,3Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
E = €5 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €15 000 000 і вартістю власного капіталу 9%. Її борг складається з 4 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 7%, 12 років до погашення), кожна з яких торгується за €1 041. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 27,5.
μ = 50σ = 15x = 27,5
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,35, 0,15
σ =
12.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 3X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,3Y = 3X + 5
σY =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,2266. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,2266
z =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 90% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів90%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 7 елементів має середнє 35,5 і стандартне відхилення s = 11,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 7x̄ = 35,5s = 11,599%t(6) = 3,707
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 40. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?
σ = 40E = 395%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 студентів має середній бал 503,5 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503,5s = 20n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 20. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 20E = 0,590%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 20.
n = 6x = 20
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 24674 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,07·3 = 0,21
e0,21 = 1,234
Майбутня вартість
FV = 20 000·1,234 = €24 673,56
Відповідь
FV = €24 673,56
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: I = 127345 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,003, N = 360
A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−360) = €909,29
Усього відсотків
I = N·A − P = 360·909,3 − 200 000 = €127 344,65
Відповідь
I = €127 344,65
3.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 11464 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,1−4)/0,1 = 3,17
Ціна придбання, перерахована на рік
30 000/3,17 = 9 464,12
EAC
EAC = 9 464,12 + 2 000 = €11 464,12
Відповідь
EAC = €11 464,12
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 20,44 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 277,78
NPV(25%) = −2 688,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 3,3/1,06 = 3,113
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −3,113·(0,005) = −1,557%
P ≈ 1035·(1 − 0,01557) = €1 018,89
Відповідь
P = €1 018,89
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,22 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·9% + 0,1667·6%·(1 − 0,28) = 8,22%
Відповідь
WACC = 8,22%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,092 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (27,5 − 50)/15 = −1,5
Відповідь
z = −1,5
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,062
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,15 = 1,35
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,15 = 2,95
Дисперсія
Var(X) = 2,95 − 1,35² = 1,128
σ = √1,128 = 1,062
Відповідь
σ = 1,062
12.Імовірність
Відповідь: σY = 3,324
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,65, Var(X) = 1,228, σX = 1,108
Лінійна зміна
σY = |3|·1,108 = 3,324
Відповідь
σY = 3,324
Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·2,65 + 5 = 12,95.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 0,75
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,2266 = 0,7734
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,7734 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,75
Відповідь
z = 0,75
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 52,2 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,1
z з таблиці
z ≈ −1,28
Назад до початкових одиниць
x = 65 − 1,28·10 = 52,2 балів
Відповідь
x = 52,2 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 51,61
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Похибка оцінки
E = 3,707·11,5/√7 = 16,11
Інтервал
35,5 ± 16,11 → [19,39, 51,61]
Відповідь
верхня межа = 51,61
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 683
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·40/3)² = 683
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 683
Відповідь
n = 683
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Статистика критерію
t = (503,5 − 500)/5 = 0,7
Відповідь
t = 0,7
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 4330
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,645·20/0,5)² = 4330
Округліть угору
n = 4330
Відповідь
n = 4330
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9804
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 407/6 = 67,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 806,8
Коефіцієнт кореляції
r = 116,5/√(17,5·806,8) = 0,9804
Відповідь
r = 0,9804
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 57,49
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 377/6 = 62,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 187
Лінія регресії
b = 187/70 = 2,671
a = 62,83 − 2,671·22 = 4,062
ŷ = 4,062 + 2,671·x
Прогноз
ŷ = 4,062 + 2,671·20 = 57,49
Відповідь
ŷ = 57,49
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.