Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €2 000. Очікується, що дохід зростатиме на 3 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 7 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €2 000g = 3%r = 7%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €3 000 на початку кожного року протягом 19 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 5 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 19? Знайдіть FV.
A = €3 000i = 5%n = 19
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €19 000, €13 000, €15 000, €17 500, €13 000 наприкінці років з 1 по 5. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €27 000, €16 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 27 000CF2 = 16 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 10 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 7%), коли її дохідність до погашення становить 5,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 4,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 10y0 = 5,5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 8 років і продається за €915. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 8P = €915
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
Компанія має 1 000 000 акцій, що торгуються за €53,00; балансова вартість її власного капіталу €26 500 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,50 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €26 500 000 і вартість до оподаткування 4,5%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 95.
μ = 100σ = 10x = 95
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.
n = 14k = 3
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,2 і €20 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€4: p = 0,2€20: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 242,5 і 260,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 242,5x2 = 260,25
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 7 елементів має середнє 62 і стандартне відхилення s = 14,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 7x̄ = 62s = 14,595%t(6) = 2,447
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 10. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?
σ = 10E = 295%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 81 студентів має середній бал 49,2 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 49,2s = 8n = 81
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 5. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 5E = 1,590%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 79?
n = 5ŷ = 79
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 50000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,05)19 − 1)/0,05 = 30,54
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 3 000·30,54·1,05 = €96 197,86
Відповідь
FV = €96 197,86
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,896 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 19 000/1,1 = 17 272,73 → Σ = 17 272,73
рік 2: 13 000/1,21 = 10 743,80 → Σ = 28 016,53
рік 3: 15 000/1,331 = 11 269,72 → Σ = 39 286,25
рік 4: 17 500/1,464 = 11 952,74 → Σ = 51 238,99
Частка останнього року
DPB = 3 + 10 713,75/11 952,74 = 3,896
Відповідь
DPB = 3,896 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,171 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 5,437 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(5%) = 226,76
NPV(10%) = −2 231,40
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€915 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(8%) = €942,53, P(9%) = €889,30
YTM = 8,508%
Відповідь
YTM = 8,508%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,46 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·3%·(1 − 0,3) = 6,46%
Відповідь
WACC = 6,46%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,439 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (95 − 100)/10 = −0,5
Відповідь
z = −0,5
11.Імовірність
Відповідь: N = 364
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364
Відповідь
N = 364
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 0,2 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 3 (p = 0,2), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)
Математичне сподівання
E(G) = 3·0,2 + 19·0,02 − 1·0,78 = 0,2 €
Відповідь
E(G) = 0,2 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,913
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (242,5 − 250)/5 = −1,5
z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05
Площа між
P = Φ(2,05) − Φ(−1,5) = 0,9798 − 0,06681 = 0,913
Відповідь
P = 0,913
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8413
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Імовірність
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 13,41
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Похибка оцінки
E = 2,447·14,5/√7 = 13,41
Відповідь
E = 13,41
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 97
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·10/2)² = 96,04
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 97
Відповідь
n = 97
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −0,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889
Статистика критерію
t = (49,2 − 50)/0,8889 = −0,9
Відповідь
t = −0,9
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 31
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,645·5/1,5)² = 30,07
Округліть угору
n = 31
Відповідь
n = 31
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,6189
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 140/6 = 23,33
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 33,33
Коефіцієнт детермінації
r² = −19²/(17,5·33,33) = 0,6189
Відповідь
r² = 0,6189
Близько 61,89% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 18,54
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 428/5 = 85,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 408
Лінія регресії
b = 408/90 = 4,533
a = 85,6 − 4,533·20 = −5,067
ŷ = −5,067 + 4,533·x
Розв’яжіть щодо x
x = (79 − (−5,067))/4,533 = 18,54
Відповідь
x = 18,54
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.