Ви інвестуєте €1 000 під 2 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 16 років.
PV = €1 000r = 2%t = 16
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €20 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €20 0004,8% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €18 000, €15 000, €21 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €11 500, €9 000, €12 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 11 500CF2 = 9 000CF3 = 12 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 4%n = 11
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €1 005 з дохідністю до погашення 4% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 4,7 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 25 базисних пунктів.
P0 = €1 005y = 4%D = 4,7Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,5. Вартість власного капіталу 14%, вартість боргу до оподаткування 3,5%, а ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,5re = 14%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €8 000 000 і вартістю власного капіталу 10%. Її борг складається з 4 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 4%, 4 років до погашення), кожна з яких торгується за €947. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 84?
μ = 100σ = 8x = 84
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,3, 0,1, 0,35, 0,1
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?
n = 8p = 0,1k = 5
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9146. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9146
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 13 елементів має середнє 104 і стандартне відхилення s = 2,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 13x̄ = 104s = 2,595%t(12) = 2,179
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 37. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 37E = 190%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 49 студентів має середній бал 119 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 119s = 5n = 49
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 84 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 189 з 300 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 84n₁ = 120x₂ = 189n₂ = 300
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 12?
n = 6ŷ = 12
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 1377 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,02·16 = 0,32
e0,32 = 1,377
Майбутня вартість
FV = 1 000·1,377 = €1 377,13
Відповідь
FV = €1 377,13
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 458,8 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8256
A = 20 000·0,004/(1 − 0,8256) = €458,78
Відповідь
A = €458,78
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 3889 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 18 000/1,05 = 17 142,86
CF2/(1 + 0,05)2 = 15 000/1,103 = 13 605,44
CF3/(1 + 0,05)3 = 21 000/1,158 = 18 140,59
Додайте
NPV = €3 888,89
Відповідь
NPV = €3 888,89
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 29,51 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 1 360,00
NPV(30%) = −138,83
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,02, N = 22
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,6468)/0,02 = €441,45
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6468 = €646,84
Ціна
P = €1 088,29
Відповідь
P = €1 088,29
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 993,6 €
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 4,7/1,04 = 4,519
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −4,519·(0,0025) = −1,13%
P ≈ 1005·(1 − 0,0113) = €993,65
Відповідь
P = €993,65
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,25 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,284
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,9146)/2 = 0,9573
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9573 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,72
Відповідь
z = 1,72
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 256,4 g
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Назад до x
x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g
Відповідь
x = 256,41 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 102,5
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Похибка оцінки
E = 2,179·2,5/√13 = 1,511
Інтервал
104 ± 1,511 → [102,5, 105,5]
Відповідь
нижня межа = 102,5
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 3705
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·37/1)² = 3705
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 3705
Відповідь
n = 3705
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Статистика критерію
t = (119 − 120)/0,7143 = −1,4
Відповідь
t = −1,4
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 1,359
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 84/120 = 0,7
p̂₂ = 189/300 = 0,63
p̂ = 273/420 = 0,65
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,65·0,35·(1/120 + 1/300)) = 0,05152
Статистика критерію
z = (0,7 − 0,63)/0,05152 = 1,359
Відповідь
z = 1,359
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9904
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 660/6 = 110
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 855
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4732
Коефіцієнт кореляції
r = 855/√(157,5·4732) = 0,9904
Відповідь
r = 0,9904
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 2,869
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 163/6 = 27,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 257
Лінія регресії
b = 257/70 = 3,671
a = 27,17 − 3,671·7 = 1,467
ŷ = 1,467 + 3,671·x
Розв’яжіть щодо x
x = (12 − 1,467)/3,671 = 2,869
Відповідь
x = 2,869
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.