Кредитна картка нараховує номінальну ставку 20 % річних із капіталізацією піврічною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 20%m = 2
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 13? Знайдіть залишок боргу B.
P = €150 0004,8% / 12N = 360k = 156
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €7 000, €4 000, €8 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €7 000, €9 000, €8 500, €8 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 10 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 7%YTM = 3,5%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 4 років і продається за €1 060. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 4P = €1 060
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €12 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €51,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 10%. Знайдіть WACC.
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1922. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,1922
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 30 елементів має середнє 84 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 30x̄ = 84s = 4,595%t(29) = 2,045
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 10. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 10E = 2,599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 8 студентів, середній бал 24, стандартне відхилення 6,5. Група 2: 14 студентів, середній бал 28,3, стандартне відхилення 8. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 8x̄₁ = 24s₁ = 6,5n₂ = 14x̄₂ = 28,3s₂ = 8
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 19. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 20.
n = 6x = 20
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 21 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,2/2 = 0,1
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,1)2 − 1 = 1,21 − 1 = 21%
Відповідь
EAR = 21%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 109606 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,004, N = 360
A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−360) = €787,00
Теперішня вартість решти платежів
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 360 − 156 = 204
B = 787·(1 − (1 + 0,004)−204)/0,004 = €109 605,76
Відповідь
B = €109 605,76
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −4034 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 7 000/1,09 = 6 422,02
CF2/(1 + 0,09)2 = 4 000/1,188 = 3 366,72
CF3/(1 + 0,09)3 = 8 000/1,295 = 6 177,47
Додайте
NPV = €−4 033,79
Відповідь
NPV = €−4 033,79
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 17,45 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
7 000·1,13 = 9 317,00
9 000·1,12 = 10 890,00
8 500·1,11 = 9 350,00
8 500·1,10 = 8 500,00
TV = 38 057,00
MIRR
MIRR = (38 057,00/20 000)1/4 − 1 = 17,45%
Відповідь
MIRR = 17,45%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1268 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €35,00, i = 0,0175, N = 18
Теперішня вартість купонів
€35,00·(1 − 0,7318)/0,0175 = €536,44
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7318 = €731,78
Ціна
P = €1 268,22
Відповідь
P = €1 268,22
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 1,445 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 060 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(1%) = €1 078,04, P(2%) = €1 038,08
YTM = 1,445%
Відповідь
YTM = 1,445%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,08 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·4,5%·(1 − 0,25) = 11,08%
Відповідь
WACC = 11,08%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,924 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 121
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 3,8, Var(X) = 3,16, σX = 1,778
Лінійна зміна
σY = |0,5|·1,778 = 0,8888
Відповідь
σY = 0,8888
Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·3,8 + 1 = 2,9.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 0,87
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,1922 = 0,8078
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,8078 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,87
Відповідь
z = 0,87
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7881
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Відповідь
P = 0,7881
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 82,32
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Похибка оцінки
E = 2,045·4,5/√30 = 1,68
Інтервал
84 ± 1,68 → [82,32, 85,68]
Відповідь
нижня межа = 82,32
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 107
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·10/2,5)² = 106,2
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 107
Відповідь
n = 107
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,292
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (7·6,5² + 13·8²)/20 = 56,39
sp = 7,509
Стандартна похибка
SE = 7,509·√(1/8 + 1/14) = 3,328
Статистика критерію
t = (24 − 28,3)/3,328 = −1,292
Відповідь
t = −1,292
При df = 20 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,086; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 435
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 1,645)·19/3)² = 434,2
Округліть угору
n = 435
Відповідь
n = 435
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9725
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 7584 − 90·409/5 = 222
Sxx = 1660 − 90²/5 = 40
Syy = 34759 − 409²/5 = 1303
Коефіцієнт кореляції
r = 222/√(40·1303) = 0,9725
Відповідь
r = 0,9725
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 101,3
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 686/6 = 114,3
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 456
Лінія регресії
b = 456/70 = 6,514
a = 114,3 − 6,514·22 = −28,98
ŷ = −28,98 + 6,514·x
Прогноз
ŷ = −28,98 + 6,514·20 = 101,3
Відповідь
ŷ = 101,3
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.