Ви інвестуєте €10 000 під 2 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 7 років.
PV = €10 000r = 2%t = 7
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €15 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €14 000, €7 000, €10 000, €7 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €2 000 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €15 000 і приносить €4 500, €6 000, €8 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 7 років і виплачує річні купони. Вона продається за €942, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 7P = €942YTM = 5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 9 років і продається за €1 065. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 9P = €1 065
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €12 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 5 000 000 акцій по €39,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 6%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 90,4.
μ = 100σ = 8x = 90,4
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,1 і €200 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€20: p = 0,1€200: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 762,3 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762,3 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 57 h, відоме стандартне відхилення 17 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 69 h, відоме стандартне відхилення 20 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 100 студентів має середній бал 78,48 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 78,48s = 12n = 100
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 64 вимірювань має середнє 202,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 202,1σ = 8n = 6499%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 38). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 38)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 11503 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,02·7 = 0,14
e0,14 = 1,15
Майбутня вартість
FV = 10 000·1,15 = €11 502,74
Відповідь
FV = €11 502,74
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 348,2 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8061
A = 15 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €348,16
Відповідь
A = €348,16
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 3378 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 14 000/1,06 = 13 207,55
CF2/(1 + 0,06)2 = 7 000/1,124 = 6 229,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 10 000/1,191 = 8 396,19
CF4/(1 + 0,06)4 = 7 000/1,262 = 5 544,66
Додайте
NPV = €3 378,37
Відповідь
NPV = €3 378,37
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 8,594 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 500 − 6 000 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 000 = 6 000
IRR різниці
NPVΔ(8%) = 88,78
NPVΔ(9%) = −59,69
r* = 8,594%
Відповідь
r* = 8,594%
Перевірка: при 8,594% обидві NPV дорівнюють €478,93.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 3,998 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,05)−7 = €710,68
Купон
C = (942 − 710,68)/5,786 = €39,98
Купонна ставка
c = 39,98/1000 = 3,998%
Відповідь
c = 3,998%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,002 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 065 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Чисельний розв’язок
P(7%) = €1 065,15, P(8%) = €1 000,00
YTM = 7,002%
Відповідь
YTM = 7,002%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,08 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·4,5%·(1 − 0,25) = 11,08%
Відповідь
WACC = 11,08%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,461 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (90,4 − 100)/8 = −1,2
Відповідь
z = −1,2
11.Імовірність
Відповідь: σ = 0,8047
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Дисперсія
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Відповідь
σ = 0,8047
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −6 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 10 (p = 0,1), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)
Математичне сподівання
E(G) = 10·0,1 + 190·0,01 − 10·0,89 = −6 €
Відповідь
E(G) = −6 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,1056
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Стандартизуйте
z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
Відповідь
P = 0,1056
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8413
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Імовірність
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −17,15 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 57 − 69 = −12
Стандартна похибка
SE = √(17²/60 + 20²/80) = 3,133
Похибка оцінки
E = 1,645·3,133 = 5,154
Інтервал
−12 ± 5,154 → [−17,15, −6,846]
Відповідь
нижня межа = −17,15 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 0,101 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (6·5,5² + 6·4²)/12 = 23,13
sp = 4,809
Похибка оцінки
E = 2,179·4,809·√(1/7 + 1/7) = 5,601
Інтервал
−5,5 ± 5,601 → [−11,1, 0,101]
Відповідь
верхня межа = 0,101 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Статистика критерію
t = (78,48 − 75)/1,2 = 2,9
Відповідь
t = 2,9
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 204,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·8/√64 = 2,576
Межа інтервалу
U = 202,1 + 2,576 = 204,7
Відповідь
U = 204,7
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,8783
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 114/5 = 22,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 46,8
Коефіцієнт кореляції
r = −19/√(10·46,8) = −0,8783
Відповідь
r = −0,8783
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −2,995
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 295/6 = 49,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71,5
Лінія регресії
b = 71,5/17,5 = 4,086
a = 49,17 − 4,086·3,5 = 34,87
ŷ = 34,87 + 4,086·x
Прогнозоване значення
ŷ = 34,87 + 4,086·1,5 = 41
Залишок
e = 38 − 41 = −2,995
Відповідь
e = −2,995
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.