Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 16 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 16%m = 12

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 21 років. Рахунок дає 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2503,6% / 12N = 252

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €5 000, €6 000, €9 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 9 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €28 000, €28 500, €16 000, €15 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 28 000CF₂ = 28 500CF₃ = 16 000CF₄ = 15 500

MIRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Ви купуєте облігацію з 12 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 3%), коли її дохідність до погашення становить 9%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 8,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.

F = €1 000купон = 3%n = 12y₀ = 9%y₁ = 8,5%

HPR = %

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 6 років і продається за €1 055. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 3%n = 6P = €1 055

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,9. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 1,5. Ставка податку 25%, безризикова ставка 2,5%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e за нової структури капіталу.

β_U = 0,9D/E = 1,5T = 25%r_f = 2,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 46, 26, 39, 33, 30, 20, 35.

n = 7

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 58.

μ = 70σ = 8x = 58

z =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,35, 0,15, 0,15

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €6 з імовірністю 0,15 і €60 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€6: p = 0,15€60: p = 0,02

E(G) = €

13.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 420 і 508 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 420x₂ = 508

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 10 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −6,1 і стандартне відхилення 3,4. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 10d̄ = −6,1s_d = 3,490%t(9) = 1,833

нижня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 11,5 kg, стандартне відхилення 10 kg. Група ділянок 2: 14 ділянок, середнє 10,5 kg, стандартне відхилення 4,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 11,5s₁ = 10n₂ = 14x̄₂ = 10,5s₂ = 4,590%t(19) = 1,729

нижня межа = kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 50,53 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 50,53s = 4n = 81

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 25 вимірювань має середнє 100,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 100,8σ = 5n = 2590%

L =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 125Σx² = 364Σy² = 3255Σxy = 1086

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 11?

n = 5ŷ = 11

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 17,23 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,16/12 = 0,01333

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,01333)¹² − 1 = 1,172 − 1 = 17,23%

Відповідь

EAR = 17,23%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 93944 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·21 = 252

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,127 − 1)/0,003 = €93 944,27

Відповідь

FV = €93 944,27

Самі ви внесли €63 000; решта — відсотки.

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −2740 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 5 000/1,07 = 4 672,90

CF₂/(1 + 0,07)² = 6 000/1,145 = 5 240,63

CF₃/(1 + 0,07)³ = 9 000/1,225 = 7 346,68

Додайте

NPV = €−2 739,79

Відповідь

NPV = €−2 739,79

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 19,3 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

28 000·1,08³ = 35 271,94

28 500·1,08² = 33 242,40

16 000·1,08¹ = 17 280,00

15 500·1,08⁰ = 15 500,00

TV = 101 294,34

MIRR

MIRR = (101 294,34/50 000)^1/4 − 1 = 19,3%

Відповідь

MIRR = 19,3%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: HPR = 13,39 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна купівлі

C = €30,00, i = 0,09, N = 12

€30,00·(1 − 0,3555)/0,09 + €1 000·0,3555 = €214,82 + €355,53 = €570,36

Ціна продажу

C = €30,00, i = 0,085, N = 11

€30,00·(1 − 0,4076)/0,085 + €1 000·0,4076 = €209,07 + €407,64 = €616,71

Дохідність за період володіння

HPR = (30 + 616,71 − 570,36)/570,36 = 13,39%

Відповідь

HPR = 13,39%

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 2,018 %

Рівняння для дохідності

€1 055 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Чисельний розв’язок

P(2%) = €1 056,01, P(3%) = €1 000,00

YTM = 2,018%

Відповідь

YTM = 2,018%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 5,625 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·11% + 0,625·3%·(1 − 0,2) = 5,625%

Відповідь

WACC = 5,625%

8.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 13,98 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Бета з урахуванням боргу

β_L = 0,9·(1 + 0,75·1,5) = 1,913

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,913·6% = 13,98%

Відповідь

r_e = 13,98%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 8,519

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 229/7 = 32,71

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 13,29² + (−6,714)² + 6,286² + 0,2857² + (−2,714)² + (−12,71)² + 2,286² = 435,4

Стандартне відхилення

s = √(435,4/6) = 8,519

Відповідь

s = 8,519

10.Описова статистика

Відповідь: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (58 − 70)/8 = −1,5

Відповідь

z = −1,5

11.Імовірність

Відповідь: σ = 10,44

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,35 + 20·0,35 + 30·0,15 + 40·0,15 = 21

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,35 + 900·0,15 + 1600·0,15 = 550

Дисперсія

Var(X) = 550 − 21² = 109

σ = √109 = 10,44

Відповідь

σ = 10,44

12.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,9 €

Чисті результати

G: 3 (p = 0,15), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)

Математичне сподівання

E(G) = 3·0,15 + 57·0,02 − 3·0,83 = −0,9 €

Відповідь

E(G) = −0,9 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5565

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (420 − 500)/40 = −2

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(−2) = 0,5793 − 0,02275 = 0,5565

Відповідь

P = 0,5565

14.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −8,071 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 9, t = 1,833

Похибка оцінки

E = 1,833·3,4/√10 = 1,971

Інтервал

−6,1 ± 1,971 → [−8,071, −4,129]

Відповідь

нижня межа = −8,071 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −4,395 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (6·10² + 13·4,5²)/19 = 45,43

s_p = 6,74

Похибка оцінки

E = 1,729·6,74·√(1/7 + 1/14) = 5,395

Інтервал

1 ± 5,395 → [−4,395, 6,395]

Відповідь

нижня межа = −4,395 kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,193

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Статистика критерію

t = (50,53 − 50)/0,4444 = 1,193

Відповідь

t = 1,193

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 99,16

Похибка оцінки

E = 1,645·5/√25 = 1,645

Межа інтервалу

L = 100,8 − 1,645 = 99,16

Відповідь

L = 99,16

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9885

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1086 − 42·125/6 = 211

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3255 − 125²/6 = 650,8

Коефіцієнт кореляції

r = 211/√(70·650,8) = 0,9885

Відповідь

r = 0,9885

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,067

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 62/5 = 12,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

Лінія регресії

b = 60/40 = 1,5

a = 12,4 − 1,5·6 = 3,4

ŷ = 3,4 + 1,5·x

Розв’яжіть щодо x

x = (11 − 3,4)/1,5 = 5,067

Відповідь

x = 5,067

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income