Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €20 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 8,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €20 000g = 2,5%r = 8,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €8 000 під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €175. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €8 000A = €1757,2% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €4 000, €6 000, €10 000, €6 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Інвестиція €50 000 приносить €15 500 наприкінці кожного року протягом 4 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €50 000CF = €15 500n = 4
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 6 років. Її дохідність до погашення змінюється з 5% до 5,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 2%n = 6y1 = 5%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 3,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 6%n = 6YTM = 3,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
Компанія має 4 000 000 акцій, що торгуються за €29,00; балансова вартість її власного капіталу €34 800 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,20 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €116 000 000 і вартість до оподаткування 3%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 76.
μ = 70σ = 10x = 76
z =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 5 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 5
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €40 з імовірністю 0,15 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€40: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 30 min. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 30 min
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 53,5 h, відоме стандартне відхилення 11 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 45 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 7. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?
σ = 7E = 295%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 72,84 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,84s = 12n = 100
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 9. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 8.
n = 5x = 8
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 333333 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,006/175 = 0,7257
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,7257)/ln(1,006) = 53,59
Округлення вгору до повних платежів
Після 53 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 54
Відповідь
N = 54 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 692,2 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 4 000/1,09 = 3 669,72
CF2/(1 + 0,09)2 = 6 000/1,188 = 5 050,08
CF3/(1 + 0,09)3 = 10 000/1,295 = 7 721,83
CF4/(1 + 0,09)4 = 6 000/1,412 = 4 250,55
Додайте
NPV = €692,19
Відповідь
NPV = €692,19
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 9,196 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−4)/i = 50 000/15 500 = 3,226
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 9%: 3,24
i = 10%: 3,17
IRR = 9,196%
Відповідь
IRR = 9,196%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −22,57 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 60/1,035 = 57,97, t·PV = 57,97
t = 2: 60/1,071 = 56,01, t·PV = 112,02
t = 3: 60/1,109 = 54,12, t·PV = 162,35
t = 4: 60/1,148 = 52,29, t·PV = 209,15
t = 5: 60/1,188 = 50,52, t·PV = 252,59
t = 6: 1060/1,229 = 862,31, t·PV = 5 173,86
Дюрація
P = 1 133,21
D = 5 967,94/1 133,21 = 5,266
Відповідь
D = 5,266 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,539 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість власного капіталу
D1 = 1,2·1,04 = €1,25
re = 1,248/29 + 0,04 = 8,303%
Ринкові вартості
E = 4 000 000·€29,00 = €116 000 000
V = €232 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8,303% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 5,337%
Відповідь
WACC = 5,337%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 14,55
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (76 − 70)/10 = 0,6
Відповідь
z = 0,6
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,5981
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Відповідь
P = 0,5981
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −3 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 30 (p = 0,15), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)
Математичне сподівання
E(G) = 30·0,15 + 90·0,01 − 10·0,84 = −3 €
Відповідь
E(G) = −3 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7881
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (30 − 32)/2,5 = −0,8
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Відповідь
P = 0,7881
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 593,1 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Назад до x
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
Відповідь
x = 593,05 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 1,918 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 53,5 − 45 = 8,5
Стандартна похибка
SE = √(11²/100 + 3²/60) = 1,166
Похибка оцінки
E = 1,645·1,166 = 1,918
Відповідь
E = 1,918 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 48
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·7/2)² = 47,06
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 48
Відповідь
n = 48
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,8
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Статистика критерію
t = (72,84 − 75)/1,2 = −1,8
Відповідь
t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 142
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,645)·9/3)² = 141,9
Округліть угору
n = 142
Відповідь
n = 142
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9861
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 138/6 = 23
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Syy = Σ(y − ȳ)² = 64
Коефіцієнт кореляції
r = −33/√(17,5·64) = −0,9861
Відповідь
r = −0,9861
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 92,85
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 384/5 = 76,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214
Лінія регресії
b = 214/40 = 5,35
a = 76,8 − 5,35·5 = 50,05
ŷ = 50,05 + 5,35·x
Прогноз
ŷ = 50,05 + 5,35·8 = 92,85
Відповідь
ŷ = 92,85
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.