Ви інвестуєте €1 000 під 8 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 12 років.
PV = €1 000r = 8%t = 12
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €30 000 через 5 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €30 0003,6% / 12N = 60
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €6 000, €9 000, €14 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €10 000, €16 500, €18 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 10 000CF2 = 16 500CF3 = 18 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 4%n = 3
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €1 020 з дохідністю до погашення 4% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 9,2 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 75 базисних пунктів.
P0 = €1 020y = 4%D = 9,2Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,4 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,75. Ставка податку 25%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 5,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 85.
μ = 70σ = 12x = 85
z =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 4 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 4
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?
n = 8p = 0,7k = 3
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси пасажири з багажем незалежні та нормальні із середнім 85 kg і середнім квадратичним відхиленням 12 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 8 з них перевищує 697 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 697 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 20% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 11 елементів має середнє 56,5 і стандартне відхилення s = 10. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 11x̄ = 56,5s = 1090%t(10) = 1,812
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 51,5 kg, стандартне відхилення 3 kg. Група ділянок 2: 15 ділянок, середнє 45,5 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 49 студентів має середній бал 200,9 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 200,9s = 5n = 49
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,05 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 104,8. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 100μ = 104,8σ = 15n = 100α = 0,05
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 21?
n = 5ŷ = 21
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 2612 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,08·12 = 0,96
e0,96 = 2,612
Майбутня вартість
FV = 1 000·2,612 = €2 611,70
Відповідь
FV = €2 611,70
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 457,1 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 6 000/1,1 = 5 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 9 000/1,21 = 7 438,02
CF3/(1 + 0,1)3 = 14 000/1,331 = 10 518,41
Додайте
NPV = €−6 589,03
Відповідь
NPV = €−6 589,03
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 31,66 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 648,61
NPV(35%) = −1 223,14
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,02, N = 6
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,888)/0,02 = €84,02
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,888 = €887,97
Ціна
P = €971,99
Відповідь
P = €971,99
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1088 €
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 9,2/1,04 = 8,846
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −8,846·(−0,0075) = 6,635%
P ≈ 1020·(1 + 0,06635) = €1 087,67
Відповідь
P = €1 087,67
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,969 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·12% + 0,2308·4%·(1 − 0,2) = 9,969%
Відповідь
WACC = 9,969%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 12,75 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,4/(1 + 0,75·0,5) = 1,018
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,018·(1 + 0,75·0,75) = 1,591
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 1,591·5,5% = 12,75%
Відповідь
re = 12,75%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 15,86
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (85 − 70)/12 = 1,25
Відповідь
z = 1,25
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,5177
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Відповідь
P = 0,5177
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,04668
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33,94 kg
Стандартизуйте
z = (697 − 680)/33,94 = 0,5
Імовірність
P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085
Відповідь
P = 0,3085
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 245,8 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,2
z з таблиці
z ≈ −0,84
Назад до початкових одиниць
x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g
Відповідь
x = 245,8 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 51,04
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Похибка оцінки
E = 1,812·10/√11 = 5,463
Інтервал
56,5 ± 5,463 → [51,04, 61,96]
Відповідь
нижня межа = 51,04
16.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 14,45 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (6·3² + 14·7,5²)/20 = 42,08
sp = 6,487
Похибка оцінки
E = 2,845·6,487·√(1/7 + 1/15) = 8,447
Інтервал
6 ± 8,447 → [−2,447, 14,45]
Відповідь
верхня межа = 14,45 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 1,26
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Статистика критерію
t = (200,9 − 200)/0,7143 = 1,26
Відповідь
t = 1,26
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 5,997 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 100 + 1,645·1,5 = 102,5
z при справжньому середньому
z = (102,5 − 104,8)/1,5 = −1,555
Помилка другого роду
потужність = P(Z > −1,555) = 94%
β = 100% − 94% = 5,997%
Відповідь
β = 5,997%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9632
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 276/5 = 55,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246
Syy = Σ(y − ȳ)² = 724,8
Коефіцієнт кореляції
r = 246/√(90·724,8) = 0,9632
Відповідь
r = 0,9632
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 1,667
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Лінія регресії
b = −27/10 = −2,7
a = 17,4 − (−2,7)·3 = 25,5
ŷ = 25,5 − 2,7·x
Розв’яжіть щодо x
x = (21 − 25,5)/(−2,7) = 1,667
Відповідь
x = 1,667
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.