Кредитна картка нараховує номінальну ставку 18 % річних із капіталізацією піврічною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 18%m = 2
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €5 000 на початку кожного року протягом 8 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 8 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 8? Знайдіть FV.
A = €5 000i = 8%n = 8
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €15 000, €25 000, €13 000, €26 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €28 500, €25 000, €21 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 28 500CF2 = 25 000CF3 = 21 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4%YTM = 3,5%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 5 років і продається за €940. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 5P = €940
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €4 000 000, привілейованими акціями вартістю €500 000 і боргом вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу 13%, вартість привілейованого капіталу 8%, вартість боргу до оподаткування 4,5%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €8,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 10,5%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 88.
μ = 100σ = 8x = 88
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 4 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
4 / 7
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?
n = 5p = 0,1k = 4
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9216. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9216
z =
14.Нормальний розподілСкладна
значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 40% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 143,5 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 152 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 14. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 14E = 2,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 49, стандартне відхилення 12. Група 2: 9 студентів, середній бал 52,3, стандартне відхилення 3,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 5x̄₁ = 49s₁ = 12n₂ = 9x̄₂ = 52,3s₂ = 3,5
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 5. Насправді середнє дорівнює 50,85. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 50μ = 50,85σ = 5n = 100α = 0,01
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (10, 87). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(10, 87)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 18,81 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,18/2 = 0,09
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,09)2 − 1 = 1,188 − 1 = 18,81%
Відповідь
EAR = 18,81%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 57438 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,08)8 − 1)/0,08 = 10,64
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 5 000·10,64·1,08 = €57 437,79
Відповідь
FV = €57 437,79
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 6302 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 15 000/1,07 = 14 018,69
CF2/(1 + 0,07)2 = 25 000/1,145 = 21 835,97
CF3/(1 + 0,07)3 = 13 000/1,225 = 10 611,87
CF4/(1 + 0,07)4 = 26 000/1,311 = 19 835,28
Додайте
NPV = €6 301,81
Відповідь
NPV = €6 301,81
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 24,73 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 3 553,24
NPV(25%) = −192,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, i = 0,0175, N = 10
Теперішня вартість купонів
€20,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €182,02
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8407 = €840,73
Ціна
P = €1 022,75
Відповідь
P = €1 022,75
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 9,565 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18
YTM = 9,565%
Відповідь
YTM = 9,565%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,365 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (88 − 100)/8 = −1,5
Відповідь
z = −1,5
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,1091
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091
Відповідь
P = 0,1091
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,00045
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 4) = 5·0,14·0,91 = 5·0,0001·0,9 = 0,00045
Відповідь
P = 0,00045
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,76
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,9216)/2 = 0,9608
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9608 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,76
Відповідь
z = 1,76
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 176,3 cm
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,4
z з таблиці
z ≈ −0,25
Назад до початкових одиниць
x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm
Відповідь
x = 176,3 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −13,19 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 143,5 − 152 = −8,5
Стандартна похибка
SE = √(3²/80 + 15²/40) = 2,395
Похибка оцінки
E = 1,96·2,395 = 4,695
Інтервал
−8,5 ± 4,695 → [−13,19, −3,805]
Відповідь
нижня межа = −13,19 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 121
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·14/2,5)² = 120,5
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 121
Відповідь
n = 121
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −0,7894
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (4·12² + 8·3,5²)/12 = 56,17
sp = 7,494
Стандартна похибка
SE = 7,494·√(1/5 + 1/9) = 4,18
Статистика критерію
t = (49 − 52,3)/4,18 = −0,7894
Відповідь
t = −0,7894
При df = 12 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,179; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 26,57 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 50 + 2,326·0,5 = 51,16
z при справжньому середньому
z = (51,16 − 50,85)/0,5 = 0,626
Потужність
потужність = P(Z > 0,626) = 26,57%
1 − β = 26,57%
Відповідь
1 − β = 26,57%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9749
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 83/6 = 13,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 141
Syy = Σ(y − ȳ)² = 298,8
Коефіцієнт кореляції
r = 141/√(70·298,8) = 0,9749
Відповідь
r = 0,9749
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 2,576
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 469/6 = 78,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 219
Лінія регресії
b = 219/70 = 3,129
a = 78,17 − 3,129·8 = 53,14
ŷ = 53,14 + 3,129·x
Прогнозоване значення
ŷ = 53,14 + 3,129·10 = 84,42
Залишок
e = 87 − 84,42 = 2,576
Відповідь
e = 2,576
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.