Кредитна картка нараховує номінальну ставку 16 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 16%m = 365
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €12 0003% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €12 000, €12 000, €10 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €34 500, €34 500, €27 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 34 500CF2 = 34 500CF3 = 27 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 4 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 4%), коли її дохідність до погашення становить 6%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 7,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 4y0 = 6%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 10 років і продається за €830. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 10P = €830
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,4 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1. Ставка податку 21%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Знайдіть z-оцінку z для результату 380.
μ = 500σ = 60x = 380
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 5 червоних і 5 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
5 / 5
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 12p = 0,6
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 490 і 508 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 500σ = 40x1 = 490x2 = 508
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 2,5 і стандартне відхилення 6,7. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 16d̄ = 2,5sd = 6,795%t(15) = 2,131
верхня межа = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 28. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?
σ = 28E = 395%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 64 студентів має середній бал 202,9 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 202,9s = 8n = 64
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 81 вимірювань має середнє 55,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 55,1σ = 20n = 8199%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 56?
n = 5ŷ = 56
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 17,35 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,16/365 = 0,0004384
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0004384)365 − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%
Відповідь
EAR = 17,35%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 265,6 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 12 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €265,61
Відповідь
A = €265,61
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −662,5 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 12 000/1,08 = 11 111,11
CF2/(1 + 0,08)2 = 12 000/1,166 = 10 288,07
CF3/(1 + 0,08)3 = 10 000/1,26 = 7 938,32
Додайте
NPV = €−662,50
Відповідь
NPV = €−662,50
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 43,39 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(40%) = 2 084,55
NPV(45%) = −941,41
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€830 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Чисельний розв’язок
P(7%) = €859,53, P(8%) = €798,70
YTM = 7,474%
Відповідь
YTM = 7,474%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,87 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·14% + 0,75·4%·(1 − 0,21) = 5,87%
Відповідь
WACC = 5,87%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 12,42 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,4/(1 + 0,79·0,25) = 1,169
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,169·(1 + 0,79·1) = 2,093
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 2,093·4,5% = 12,42%
Відповідь
re = 12,42%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 14,26
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (380 − 500)/60 = −2
Відповідь
z = −2
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2222
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222
Відповідь
P = 0,2222
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,0003188
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,412 = 1,678 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 12·0,6·0,411 = 0,000302
Додайте
P = 1,678 × 10⁻⁵ + 0,000302 = 0,0003188
Відповідь
P = 0,0003188
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,178
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25
z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2
Площа між
P = Φ(0,2) − Φ(−0,25) = 0,5793 − 0,4013 = 0,178
Відповідь
P = 0,178
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7389
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Відповідь
P = 0,7389
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 6,069 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 15, t = 2,131
Похибка оцінки
E = 2,131·6,7/√16 = 3,569
Інтервал
2,5 ± 3,569 → [−1,069, 6,069]
Відповідь
верхня межа = 6,069 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 335
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·28/3)² = 334,6
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 335
Відповідь
n = 335
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Статистика критерію
t = (202,9 − 200)/1 = 2,9
Відповідь
t = 2,9
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 49,38
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·20/√81 = 5,724
Межа інтервалу
L = 55,1 − 5,724 = 49,38
Відповідь
L = 49,38
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9831
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 10102 − 129·443/6 = 577,5
Sxx = 2931 − 129²/6 = 157,5
Syy = 34899 − 443²/6 = 2191
Коефіцієнт кореляції
r = 577,5/√(157,5·2191) = 0,9831
Відповідь
r = 0,9831
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 6,064
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 255/5 = 51
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188
Лінія регресії
b = 188/40 = 4,7
a = 51 − 4,7·5 = 27,5
ŷ = 27,5 + 4,7·x
Розв’яжіть щодо x
x = (56 − 27,5)/4,7 = 6,064
Відповідь
x = 6,064
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.